n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: [latex]a_n = a_1 + (n - 1) cdot r[/latex], gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: [latex]S_n = frac{a_1 + a_n}{2} cdot n[/latex] Zad. 1 a₁ = 5 i r = 2 [latex]a_9 =5 + (9 - 1) cdot 2 = 5 + 8 cdot 2 = 5 + 16 = 21[/latex] [latex]S_9 = frac{5 + 21}{2} cdot 9 = frac{26}{2} cdot 9 = 13 cdot 9 = 117[/latex] Odp. a₉ = 21 i S₉ = 117 Zad. 2 a₄ = 6 i a₈ = 14 [latex]a_4 =a_1 + (4 - 1) cdot r = a_1 +3r = 6[/latex] [latex]a_8 =a_1 + (8 - 1) cdot r = a_1 +7r = 14[/latex] Stąd: [latex]left { {{a_1 +3r = 6 / cdot (-1)} atop {a_1 +7r = 14}} ight. \\ underline{left { {{-a_1 -3r = -6} atop {a_1 +7r = 14}} ight.} \\ 4r = 8 /:4 \ r = 2 \\ a_1 +3r = 6 \ a_1 +3 cdot 2 = 6 \ a_1 +6 = 6 \ a_1 = 6 - 6 \ a_1 =0 \\ left { {{a_1 = 0} atop {r = 2}} ight.[/latex] Odp. a₁ = 0 i r = 2 n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: [latex]a_n = a_1 cdot q^{n - 1}[/latex], gdzie q to iloraz ciągu geometrycznego Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: [latex]S_n = frac{1 - q^n}{1 - q} cdot a_1[/latex] Zad. 3 a₁ = 1 i q = ½ [latex]a_5 = 1 cdot (frac{1}{2})^{5 - 1} =(frac{1}{2})^4= frac{1}{16}[/latex] [latex]S_5 = frac{1 - (frac{1}{2})^5}{1 - frac{1}{2}} cdot 1 = frac{1 - frac{1}{32}}{frac{1}{2}} =frac{frac{31}{32}}{frac{1}{2}} =frac{31}{32} : frac{1}{2} = frac{31}{32} cdot frac{2}{1} = frac{31}{16} =1frac{15}{16}[/latex] Odp. a₅ = ¹/₁₆ i S₅ = 1¹⁵/₁₆ Zad. 4 a₂ = 7 i a₄ = 28 [latex]a_2 = a_1 cdot q^{2 - 1} = a_1 cdot q = 7[/latex] [latex]a_4 = a_1 cdot q^{4 - 1} = a_1 cdot q^3 = 28[/latex] Stąd: [latex]a_1 cdot q = 7 \ a_1 cdot q^3 = 28 \ left { {{a_1 cdot q = 7 / : q} atop {a_1 cdot q^3 = 28}} ight. \\ left { {{a_1 =frac{7}{q}} atop {frac{7}{q} cdot q^3 = 28}} ight. \\ left { {{a_1 =frac{7}{q}} atop {7q^2 = 28 /:7}} ight. \\ left { {{a_1 =frac{7}{q}} atop {q^2 = 4}} ight. \\ left { {{a_1 =frac{7}{q}} atop {q = 2}} ight. lub left { {{a_1 =frac{7}{q}} atop {q = -2}} ight.[/latex] [latex]left { {{a_1 =frac{7}{2}} atop {q = 2}} ight. lub left { {{a_1 =frac{7}{-2}} atop {q = -2}} ight. \\ left { {{a_1 =3,5 atop {q = 2}} ight. lub left { {{a_1 =-3,5atop {q = -2}} ight. \\[/latex] Odp. a₁ = 3,5 i q = 2 lub a₁ = - 3,5 i q = - 2 (ciąg jest naprzemienny)
