Monotoniczność ciągu bada się sprawdzając różnicę dwóch kolejnych wyrazów: [latex]a_{n+1}-a_{n}[/latex] Gdy różnica ta jest: - większa od 0 - ciąg roznący, - równa zero - ciąg stały, - mniejsza od zera - ciąg malejący. ======================================= zad 1 [latex]a_{n+1}-a_{n}=frac{n+1}{n+1+4}-frac{n}{n+4}=frac{(n+1)(n+4)-n(n+5)}{(n+5)(n+4)}=\ =frac{n^{2}+5n+4-n^{2}-5n}{(n+5)(n+4)}=frac{4}{(n+5)(n+4)}[/latex] Licznik=4>0 Mianownik: (n+5)(n+4)>0 Ciąg (an) jest rosnący. ======================================= zad 2 [latex]a_{n+1}-a_{n}=frac{n+1+2}{2n+2+3}-frac{n+2}{2n+3}=frac{(n+3)(2n+3)-(2n+5)(n+2)}{(2n+5)(2n+3)}=\ =frac{2n^{2}+9n+9-2n^{2}-9n-10}{(2n+5)(2n+3)}=frac{-1}{(2n+5)(2n+3)}[/latex] Licznik: -1<0 Mianownik: (2n+5)(2n+3)>0 Ciąg (an) jest malejący ======================================= zad 3 a) an=n²-2n a(n+1)=(n+1)²-2n=n²+2n+1-2n=n²+1 --- b) an=1-n² a(n+1)=1-(n+1)²=1-n²-2n-1=-n²-2n
