a- krawędź podstawy ostrosłupa b- krawędź boczna Ściany boczne to trójkąty prostokątne [latex]b^2+b^2=a^2\2b^2=a^2\b^2=frac{1}{2}a^2[/latex] Narysuj trójkąt prostokątny ASP o przeciwprostokątnej AS - krawędź boczna ostrosłupa. Przyprostokątna PA- promień okręgu opisanego na trójkącie podstawy (na trójkącie rónobocznym o obku a) Przyprostokątna SP- wysokość ostrosłupa (h) - S to wierzchołek ostrosłupa, P- spodek wysokości ostrosłupa [latex]|AS|=b\|AP|=frac{2}{3}cdotfrac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}\|SP|=h\h^2+(frac{asqrt{3}}{3})^2=b^2\h^2+frac{3}{9}a^2=frac{1}{2}a^2\frac{1}{2}a^2-frac{1}{3}a^2=h^2\frac{1}{6}a^2=h^2\a^2=6h^2[/latex] Na boku SP zaznacz punkt O- środek kuli opisanej na ostrosłupie. R- promień tej kuli Trójkąt OPA jest prostokątny [latex]|OP|=h-R\|OA|=R\|AP|=frac{asqrt{3}}{3}[/latex] [latex](h-R)^2+(frac{asqrt{3}}{3})^2=R^2\R^2-2hR+h^2+frac{3}{9}a^2=R^2\h^2-2hR+frac{1}{3}cdot6h^2=0\2hR=h^2+2h^2\2hR=3h^2 /:(2h)\R=frac{3}{2}h[/latex] Objętość kuli opisanej: [latex]V=frac{4}{3}picdot(frac{3}{2}h)^3=frac{4}{3}cdotfrac{27}{8}pi h^3=frac{9}{2}pi h^3[/latex]
