Zad. 19 Na początek przekształcimy proste do postaci y = ax + b, proste nie mają punktów wspólnych jeżeli są równoległe i NIE są wyrażone identycznym wzorem. [latex]kx - y - 1 = 0 => -y = -kx + 1 => y = kx - 1[/latex] [latex]2x + y + frac{1}{2} = 0 => y = -2x -frac{1}{2}[/latex] Warunek prostopadłości prostych to [latex]a_{1} = a_{2}[/latex], współczynniki kierunkowe sa sobie równe, zatem k = -2. Odpowiedź A Zad. 25 Symetria względem osi OY powoduje zmianę wartości x na przeciwną, możemy więc zapisać: [latex]f(x) -> OY -> f(-x)[/latex] W naszym przypadku [latex]y = f(x) = 2^{x} + 1[/latex] Funkcja symetryczna do danej to [latex]g(x) = f(-x) = 2^{-x} + 1[/latex] Odpowiedź D Zad. 29 Zaczniemy od znalezienia prostej AB przechodzącej przez punkty A = (-1, 3) i B = (-6, 7), korzystając z wzoru ogólnego prostej y = ax + b: [latex]left { {{3 = -1a + b} atop {7 = -6a + b}}
ight.[/latex] - odejmujemy stronami i otrzymujemy: [latex]left { {{3 = -1a + b} atop {4 = -5a}}
ight.[/latex] - drugie równanie dzielimy obustronnie przez (-5) [latex]left { {{3 = -1a + b} atop {-frac{4}{5} = a}}
ight.[/latex] - podstawiamy a do pierwszego równania [latex]left { {{3 = -1*(-frac{4}{5}) + b} atop {a = -frac{4}{5}}}
ight.[/latex] - rozwiązujemy pierwsze równanie [latex]left { {{3 = frac{4}{5} + b} atop {a = -frac{4}{5}}}
ight.[/latex] [latex]left { {{3 - frac{4}{5} = b} atop {a = -frac{4}{5}}}
ight.[/latex] [latex]left { {b = 2frac{1}{5}} atop {a = -frac{4}{5}}}
ight.[/latex] Prosta AB wyrażona jest wzorem [latex]y = -frac{4}{5}x + 2frac{1}{5}[/latex] Proste są prostopadłe jeżeli współczynniki kierunkowe tych prostych spełniają warunek: [latex]a_{1} * a_{2} = -1[/latex] W naszym zadaniu [latex]a_{1} = 1 oraz a_{2} = -frac{4}{5}[/latex] Sprawdzamy czy spełniają warunek prostopadłości: [latex]1 * (-frac{4}{5}) = -frac{4}{5}
eq -1[/latex] [latex]L
eq P[/latex] - proste nie są prostopadłe Zad. 30 [latex]y = x^{2} - kx + 4[/latex] nie ma miejsc zerowych w przypadku gdy Δ < 0, liczymy więc deltę: [latex]Delta = b^{2} - 4ac[/latex] [latex]Delta = (-k)^{2} - 4*1*4[/latex] [latex]Delta = k^{2} - 16[/latex] - podstawiamy do warunku który musi spełniać delta [latex]k^{2} - 16 < 0[/latex] - korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia, rozkładamy na czynniki [latex](k - 4)(k + 4) < 0[/latex] - znajdujemy miejsca zerowe dla każdego z nawiasów [latex]k - 4 = 0 => k = 4 [latex]k + 4 = 0 => k = -4 Wykres przechodzi przez miejsca zerowe, ramiona skierowane w górę, nas interesują wartości mniejsze od zera (pod osią) więc k ∈(-4; 4) Zad. 31 Brak w załącznikach Zad. 32 Wypiszmy dane z zadania: [latex]a_{1} = 1[/latex][latex]S_{10} = 4S_{5}[/latex] [latex]S_{100} > 10 * 2^{10}[/latex] Skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oraz na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego żeby znaleźć różnicę ciągu r [latex]a_{n} = a_{1}+(n - 1)r[/latex] [latex]S_{n} = frac{a_{1} + a_{n}}{2} * n[/latex] Obliczamy 5, 10 i 100 wyraz ciągu: [latex]a_{5} = 1+(5 - 1)r[/latex] [latex]a_{5} = 1+4r[/latex] [latex]a_{10} = 1+(10 - 1)r[/latex] [latex]a_{10} = 1+9r[/latex] [latex]a_{100} = 1+(100 - 1)r[/latex] [latex]a_{100} = 1+99r[/latex] Obliczamy sumę 5 i 10 początkowych wyrazów ciągu [latex]S_{5} = frac{1 + 1 + 4r}{2} * 5[/latex] [latex]S_{5} = frac{2 + 4r}{2} * 5[/latex] - w liczniku wyciągamy wspólny czynnik przed nawias [latex]S_{5} = frac{2(1 + 2r)}{2} * 5[/latex] - skracamy i mnożymy [latex]S_{5} = 5 + 10r[/latex] [latex]S_{10} = frac{1 + 1 + 9r}{2} * 10[/latex] [latex]S_{10} = frac{2 + 9r}{2} * 10[/latex] - skracamy i mnożymy [latex]S_{10} = 10 + 45r[/latex] Suma 10 początkowych wyrazów jest 4-krotnie większa możemy więc zapisać: [latex]10 + 45r = 4*(5 + 10r)[/latex] [latex]10 + 45r = 20 + 40r[/latex] [latex]45r - 40r = 20 - 10[/latex] [latex]5r = 10[/latex] - dzielimy obustronnie przez 5 [latex]r = 2[/latex] Znając pierwszy wyraz i róznicę możemy obliczyć sumę 100 początkowych wyrazów: [latex]S_{100} = frac{1 + 1 + 99r}{2} * 100[/latex] [latex]S_{100} = (2 + 99r) * 50[/latex] - podstawiamy wyznaczone wcześniej r [latex]S_{100} = (2 + 99*2) * 50[/latex] [latex]S_{100} = (2 + 198) * 50[/latex] [latex]S_{100} = 200 * 50[/latex] [latex]S_{100} = 10000[/latex] Podstawiamy do warunku z zadania [latex]S_{100} > 10 * 2^{10}[/latex] [latex]10000 > 10 * 1024[/latex] [latex]10000 > 10240[/latex] - lewa nie jest większa od prawej, zatem S100 nie jest większe od 10 * 2¹⁰
