Zad. 7 Stopień wielomianu to największa potęga zmiennej.
Stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni, a stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni. a) [latex]W(x) = x^2 - 1[/latex] - wielomian stopnia 2 [latex]P(x) = x^5 - x + 1[/latex] - wielomian stopnia 5 [latex]Q(x)=W(x) cdot P(x)[/latex] - wielomian stopnia 7, bo 2+5 = 7 [latex]Q(x)=W(x) cdot P(x) = (x^2 - 1)(x^5 - x + 1) = x^7 - x^3+ x^2 - x^5+\ + x - 1 = x^7 - x^5 - x^3 + x^2+ x - 1[/latex] b) [latex]W(x) = x^2 - 3x + 5[/latex] - wielomian stopnia 2 [latex]P(x) = 2x^2 + 2[/latex] - wielomian stopnia 2 [latex]Q(x)=W(x) cdot P(x)[/latex] - wielomian stopnia 4, bo 2+2 = 4 [latex]Q(x)=W(x) cdot P(x) = (x^2 - 3x + 5)(2x^2 + 2) =2x^4 + 2x^2 - 6x^3\ - 6x + 10x^2 + 10 = 2x^4 - 6x^3+ 12x^2 - 6x +10[/latex] Zad. 8 a) [latex]W(x) = 3x^2 + x^2- 2x - 3 = 4x^2 - 2x - 3 \ underline{x = - 2} \ W(- 2) = 4 cdot (-2)^2 -2 cdot (-2)- 3 =4 cdot 4 + 4 - 3 =16 + 4 - 3 =\ =17\\ underline{x = 1} \ W(1) = 4 cdot 1^2 -2 cdot 1- 3 =4 cdot 1 -2 - 3 =4 -2 - 3 = - 1\\ underline{x = 3} \ W(3) = 4 cdot 3^2 -2 cdot 3- 3 =4 cdot 19 -6 - 3 =36 -6 - 3 =27[/latex] b) [latex]W(x) = -x^4 + 5x^3- 4x - 10 \ underline{x = - 2} \ W(- 2) = -(-2)^4 +5 cdot (-2)^3 - 4 cdot (-2)- 10 = -16 + 5 cdot (-8) + \ +8 - 10=-16-40 + 8 - 10 = -58\\ underline{x = 1} \ W(1) = -1^4 +5 cdot 1^3 - 4 cdot 1- 10 =-1+ 5cdot 1 - 4 - 10 =-1 + \ +5 - 4 - 10 = - 10\\ underline{x = 3} \ W(3) =-3^4 +5 cdot 3^3 - 4 cdot 3- 10 =-81 + 5 cdot 27 - 12 - 10 = \ = - 81 + 135 - 12 - 10 = 32[/latex] Zad. 9 a) [latex]W(x) = 7x^3 + 2x^2 - 14x - 4 = x^2 cdot (7x + 2) - 2 cdot (7x + 2) = \ = (7x + 2)(x^2 - 2)[/latex] b) [latex]W(x) = 8x^5 + 16x^3 - x^2 - 2 = 8x^3 cdot (x^2 + 2) - 1 cdot (x^2 + 2) = \ = (x^2 + 2)(8x^3 - 1) = (x^2 + 2)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)\\ ---------------------------- \ Ze wzoru skr'oconego mno.zenia: \ 8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3= (2x-1)[(2x)^2+2x cdot 1+1^2] = \ = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)[/latex] c) [latex]W(x) = 20x^3 - 24x^2 + 72x = 4x cdot (5x^2 - 6x^2 + 18) = \ = 4x(5x^2 - 6x^2 + 18) \\ -------------------------- \ Zapis tr'ojmianu kwadratowego w postaci iloczynowej: \ ax^2 + bx + c = a cdot (x - x_1)(x - x_2), gdzie x_1 i x_2 to miejsca \ zerowe \\ 5x^2 - 6x^2 + 18 \ a = 5; b = - 6, c = 18 \ Delta = (-6)^2 - 4 cdot 5 cdot 18 = 36 - 360 = - 324 < 0\ tr'ojmian kwadratowy: 5x^2 - 6x^2 + 18 nie ma postaci \ iloczynowej[/latex]
