6. Zjawiska falowe 6.1. Równanie fali sinusoidalnej. Opiszemy tutaj dokładniej rozchodzenie się fali w ośrodku sprężystym. Przypuśćmy, że fala rozchodzi się wzdłuż węża gumowego. Przypominasz zapewne, że wychylenie elementów węża w określonym czasie jest różne w różnych miejscach. Oznaczmy wychylenie węża symbolem y, a symbolem x odległość dowolnego punktu węża od źródła drgań (ręki, którą wąż potrząsa). Jeżeli wprowadzimy układ współrzędnych jak na rysunku 22 to możemy powiedzieć, że wychylenie y dla określonego czasu t zależy od odległości danego elementu węża od źródła (jest funkcją położenia x wzdłuż węża). Wiesz jednak także, że wychylenie elementu węża w określonej odległości x zmienia się, jest różne dla różnych chwil czasu. Element taki porusz się ruchem harmonicznym. A więc wychylenie jest funkcją dwóch zmiennych: położenia węża x i czasu t. Rys. 22 Zmiana wychylenia cząsteczek ośrodka. Równanie fali sinusoidalnej można wyprowadzić na podstawie poznanego wcześniej równania drgań harmonicznych w postaci: y(t) = A • sinωt gdzie: y(t) – chwilowe wychylenie źródła drgań z położenia równowagi, A – amplituda drgań ω • t – faza drgań. Umieśćmy źródło drgań w początku układu współrzędnych (rys. 22). Wychylenie dowolnego elementu ośrodka leżącego na osi X jest opóźnione w porównaniu z wychyleniem elementu znajdującego się na początku układu współrzędnych. Do punktu D ośrodka odległego od źródła drgań o x 1 fala wychodząca z początku układu dotrze więc po upływie czasu x 1 t ’ = — v gdzie v jest prędkością fali w danym ośrodku. Oznacza to, że punkt D będzie miał tę samą fazę drgań, jak punkt 0 po czasie x 1 t 1 = t - t’ = t - — v równanie drgań punktu D przyjmie więc postać x 1 y(x,t) = A • sinω • t - — v Dla każdego punktu leżącego na osi X, a pobudzonego do drgań przez źródło umieszczone w początku układu, można napisać równanie w postaci ogólnej: x y(x,t) = A • sinω • t - — [18] v x gdzie ω • (t - —) jest fazą drgań punktu leżącego na osi X. Jest to jedna z postaci równania v fali. λ Jeżeli to równania 18 wprowadzimy zależność v = — otrzymamy wówczas inną postać T równania fali. t x y(x,t) = A • sin2л • — - — [19] T λ 6.2. Interferencja fal mechanicznych. Do tej pory fale mechaniczne wytwarzało tylko jedno źródło. Bardzo często jednak mamy do czynienia z sytuacjami, kiedy w ośrodku równocześnie rozchodzi się kilka fal jedna niezależnie od drugiej. Jeżeli np. dwie fale dotrą do tego samego punktu ośrodka, to każda z nich wywołuje jego wychylenie. Wychylenie tego punktu będzie więc sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne fale. Możemy więc zapisać y = y 1 + y 2 gdzie: y 1 , y 2 – wychylenie wywołane przez poszczególne fale, y – wychylenie wypadkowe. Interferencją nazywamy zjawisko nakładania się (sumowania) fal pochodzących z dwóch (lub większej liczby) źródeł emitujących fale. Dalsze rozważania ograniczymy do prostego przypadku interferencji dwóch fal wytwarzanych przez źródła drgające harmonicznie (Z 1 i Z 2 ) z tą samą częstotliwością i w zgodnych fazach (rys. 23). Fale z tych źródeł docierają do różnych punktów ośrodka, w tym do punktu A. Drganie punktu A zależy od tego, z jakimi fazami spotkały się w nim fale. 1 Rys. 23. Fale w punkcie A spotykają się w fazach zgodnych. Jeżeli obie fale mają w tym punkcie fazy zgodne , to punkt A jest wychylany przez każdą z fal w tę samą stronę i drga z większą amplitudą niż amplitudy fal docierających do tego punktu. Mówimy, że w punkcie A nastąpiło maksymalne wzmocnienie (tzw. maksimum interferencyjne). Zadamy sobie teraz pytanie kiedy taki przypadek ma miejsce. Z rysunku 23 widać, że punkt B znajduje się w takiej samej odległości od punktu A jak źródło fali Z 2 . Znaczy to, że fale z punktu B i ze źródła Z 2 mają taką samą drogę do przebycia, a ponieważ ich fazy są zgodne, więc spotykają się w punkcie A też w fazach zgodnych i następuje wzmocnienie. Ale przecież źródło Z 1 znajduje się dalej niż punkt B. Popatrz na długość odcinka Z 1 B – jest on równy dwóm długościom fali (2 λ). Znaczy to, że punkt B i źródło Z 1 mają fazy zgodne. Odległość Z 1 B może być również równa 3 λ, 4 λ, czy też 121 λ. Ważne jest by odległość ta była równa całkowitej wielokrotności długości fali (n λ – gdzie n jest liczbą całkowitą) a wówczas jeżeli źródła drgają z tą samą fazą, w punkcie A w wyniku interferencji nastąpi wzmocnienie. Jeżeli różnica dróg dwóch fal do danego punktu jest równa całkowitej wielokrotności długości fali to w tym punkcie ośrodka spotykają się fale w fazach zgodnych i następuje maksymalne wzmocnienie. Matematyczny zapis warunku na wzmocnienie będzie wyglądał następująco │x 1 – x 2 │ = n λ gdzie: x 1 – odległość źródła Z 1 od danego punktu ośrodka, x 2 – odległość źródła Z 2 od danego punktu ośrodka, n = 0,1,2,3 ... . Jeżeli fale w punkcie A spotykają się z fazami przeciwnymi, to usiłują wychylić cząsteczki w tym punkcie każda w przeciwną stronę. Amplituda punktu A będzie teraz różnicą amplitud fal docierających ze źródeł Z 1 i Z 2 (rys. 24). Rys. 24. Fale w punkcie A spotykają się w fazach przeciwnych. Odległość Z 1 B jest teraz równa 1,5 długości fali, ale mogłaby być również równa 0,5 λ, 2,5 λ, czy też 125,5. Ważne jest by odległość ta była równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali (całkowita wielokrotność długości fali plus jeszcze połowa czyli nλ = 1 / 2 λ), a wówczas w punkcie A w wyniku interferencji nastąpi wygaszenie (minimum interferencyjne). Jeżeli różnica dróg dwóch fal do danego punktu jest równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali to w tym punkcie ośrodka spotykają się fale w fazach przeciwnych i następuje całkowite wygaszenie (osłabienie). λ │x 1 – x 2 │ = (2n + 1) — 2 dla n = 0,1,2,3...... W wyniku interferencji fal może więc zajść wzmocnienie, osłabienie lub całkowite wygaszenie nakładających się fal. Zależy to od zgodności lub niezgodności faz nakładających się fal. Rysunki 25 a, b i c przedstawiają odpowiednio interferencję dwóch fal zaznaczonych na rysunku liniami (kreskowaną i kropkowaną): a) o różnych amplitudach i zgodnych fazach, b) o różnych amplitudach i fazach przeciwnych, c) o jednakowych amplitudach i fazach przeciwnych. Grubo zaznaczone linie ciągłe przedstawiają drgania wypadkowe. Rys. 25. Interferencja fal. 6.3. Fala stojąca. Szczególnym przypadkiem interferencji jest interferencja dwóch fal o tych samych częstotliwościach i amplitudach biegnących w przeciwne strony. Ma ona najczęściej miejsce podczas rozchodzenia się fal w rurach, prętach, strunach itp. A więc tam, gdzie fale poruszają się naprzeciw siebie. W obszarze ich wzajemnego przenikania się powstaje fala stojąca. Bardzo łatwo taką falę możesz sam wytworzyć. Wystarczy wąż gumowy jednym końcem przymocować do ściany a drugim potrząsnąć wprawiając ten koniec w drgania. Wzdłuż węża w kierunku ściany rozchodzić się będzie fala. Podczas odbicia od ściany faza zmieni się na przeciwną (wychylenie zmieni znak). Jeżeli do ściany dochodzi dolina, to po odbiciu wraca ona jako grzbiet (rys. 26). Z czego wynika, że element węża leżący tuż przy ścianie nie będzie wykonywał żadnych drgań. W wyniku nałożenia się fali odbitej na padającą zaobserwujemy takie elementy węża, których amplituda drgań osiąga wartość największą, są to strzałki fali, i elementy pozostające cały czas nieruchomo – węzły fali. Rys. 26. Zmiana fazy. Fala stojąca nie przemieszcza się w środku (stąd jej nazwa) – nie przenosi więc energii. Jak widać z rysunku 27 odległość od strzałki do strzałki lub od węzła do węzła jest równa połowie długości fali. Natomiast odległość od strzałki do węzła jest równa jednej czwartej długości fali. Rys. 27. Fala stojąca w wężu gumowym. W – węzły, S – strzałki. Pytania i zadania 1. Okres drgań źródła fali wynosi T = 0,04 s prędkość fali v = 300 m/s. Oblicz różnicę faz drgań dwóch punktów odległych o x 1 = 10 m i x 2 =16 m od źródła fali. 2. W pewnym ośrodku fale rozchodzą się z prędkością v = 100 m/s. Częstotliwość drgań cząsteczek ośrodka wynosi f = 400 Hz. Jaka jest różnica faz pomiędzy punktami odległymi o ∆x = 100 cm wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali? 3. Jak nazywamy zjawisko sumowania się fal pochodzących z dwóch źródeł emitujących fale? 4. W jakich fazach muszą spotkać się dwie fale w danym punkcie ośrodka aby w tym punkcie nastąpiło wzmocnienie? 5. Odległość źródła Z 1 od punktu A wynosi przykładowo x 1 = 10 λ. Jaka może być odległość źródła Z 2 od tego punktu aby w punkcie A nastąpiło wzmocnienie: a) 10 λ, b) 7 λ, c) 12,5 λ, d) 20 λ, e) 21,5 λ? Wybierz poprawne odpowiedzi. 6. Ile wynosi odległość pomiędzy sąsiednimi strzałkami lub węzłami fali stojącej? 7. Odległość od strzałki do węzła fali stojącej wytworzonej w wężu gumowym wynosi 5 cm. Jaka jest długość fali rozchodzącej się wzdłuż węża? 8. Fala biegnąca w wężu gumowym do ściany i odbita od niej mają jednakowe amplitudy wynoszące A = 10 cm. Jaka będzie amplituda: a) strzałki, b) węzła fali stojącej wytworzonej w tym wężu? 9. Linkę wprawiono w drgania o częstotliwości f = 20 Hz, w wyniku czego powstała w niej fala stojąca. Z jaką prędkością rozchodzi się fala w lince, jeżeli odległość między węzłami wynosi l = 10 cm? 10. W wężu gumowym wytworzono falę stojącą przy czym odległość między węzłami tej fali wynosi 60 cm. Jak należy zmienić częstotliwość drgań węża aby węzły przypadały co 20 cm.? 11. Kiedy ma miejsce wygaszenie? 12. Odległość źródła Z 1 od punktu A wynosi przykładowo x 1 = 8 λ. Jaka musi być odległość źródła Z 2 od tego punktu aby w punkcie A nastąpiło wygaszenie: a) 10 λ, b) 12,5 λ, c) 5,5 λ, d) 8,5 λ, e) 6 λ? Wybierz poprawne odpowiedzi. 13. Dwa źródła wysyłają fale o jednakowych amplitudach wynoszących A = 10 cm. Jaka będzie amplituda fali wypadkowej w pewnym punkcie ośrodka, jeżeli fazy składowych w tym punkcie będą: a) zgodne, b) przeciwne?
cóż za wyczerpująca odpowiedź :)
