a) Korzystamy ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego i wzór ogólny ciągu arytmetycznego: [latex]S_{n}=frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n\\a_{n}=a_{1}+(n-1)*r[/latex] Wyznaczamy wzór na szósty wyraz tego ciągu: [latex]a_{n}=a_{1}+(n-1)*r [/latex] [latex]a_{6}=a_{1}+5r\a_{6}=7+5r[/latex] Wyznaczamy różnicę tego ciągu, korzystając ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego:: [latex]a_{1}=7\S_{6}=12\\S_{n}=frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n\\S_{6}=frac{a_{1}+a_{1}+5r}{2}*6\\S_{6}=frac{2a_{1}+5r}{2}*6\\S_{6}=frac{14+5r}{2}*6\\frac{14+5r}{2}*6=12 /:6\\frac{14+5r}{2}=2 /*2\\14+5r=4 /-14\5r=-10 /:5\r=-2[/latex] b) Korzystamy ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego i wzór ogólny ciągu arytmetycznego: [latex]S_{n}=frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n\\a_{n}=a_{1}+(n-1)*r[/latex] Rozpisujemy trzeci wyraz zgodnie ze wzorem ogólnym ciągu arytmetycznego i wyznaczmy wzór na a₁: [latex]a_{n}=a_{1}+(n-1)*r\\a_{3}=9\a_{1}+2r=9\a_{1}=9-2r[/latex] Wyznaczamy wzór na drugi wyraz tego ciągu: [latex]a_{1}=9-2r\\a_{2}=a_{1}+r\a_{2}=9-2r+r\a_{2}=9-r[/latex] Wyznaczamy różnicę tego ciągu, korzystając ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego: [latex]S_{2}=12\a_{1}=9-2r\a_{2}=9-r\\S_{2}=frac{a_{1}+a_{2}}{2}*2\\frac{9-2r+9-r}{2}*2=12\\frac{18-3r}{2}*2=12 /:2\\frac{18-3r}{2}=6 /*2\\18-3r=12 /-18\-3r=-6 /:(-3)\r=2[/latex] c) Korzystamy ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego i wzór ogólny ciągu arytmetycznego: [latex]S_{n}=frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n\\a_{n}=a_{1}+(n-1)*r [/latex] Rozpisujemy piąty wyraz zgodnie ze wzorem ogólnym ciągu arytmetycznego i wyznaczmy wzór na a₁: [latex]a_{n}=a_{1}+(n-1)*r\\a_{5}=-3\a_{1}+4r=-3\a_{1}=-3-4r [/latex] Wyznaczamy wzór na siódmy wyraz tego ciągu: [latex]a_{1}=-3-4r\\a_{7}=a_{1}+6r\a_{7}=-3-4r+6r\a_{7}=-3+2r[/latex] Wyznaczamy różnicę tego ciągu, korzystając ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego: [latex]S_{7}=-14\a_{1}=-3-4r\a_{7}=-3+2r\\S_{n}=frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n\\S_{7}=frac{a_{1}+a_{7}}{2}*7\\frac{-3-4r-3+2r}{2}*7=-14\\frac{-6-2r}{2}*7=-14 /:7\\frac{-6-2r}{2}=-2 /*2\\-6-2r=-4 /+6\-2r=2 /:(-2)\r=-1[/latex]
