Wzór na an-ty wyraz ciągu geometrycznego: [latex]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/latex] Wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego: [latex]S_{n}=frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}[/latex] ======================================= a₄=6 a₃=12 ------------------------------------------------------------------------------ 1. Iloraz ciśgu - q: Iloraz ciągu to iloraz pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu - wyraz z większym indeksem dzielony przez wyraz z indeksem mniejszym o 1. [latex]q=frac{a_{n+1}}{a_{n}}\ q=frac{a_{4}}{a_{3}}\ q=frac{6}{12}\ q=frac{1}{2}[/latex] ------------------------------------------------------------------------------ 2. Pierwszy wyraz ciągu - a₁: [latex]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\ a_{3}=a_{1}*q^{3-1}\ 12=a_{1}*(frac{1}{2})^{2}\ 12=a_{1}*frac{1}{4} |*4\ a_{1}=48 [/latex] ------------------------------------------------------------------------------ 3. Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu - S₈: [latex]S_{n}=frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\ S_{8}=frac{48*(1-(frac{1}{2})^{8})}{1-frac{1}{2}}\ S_{8}=frac{48*(1-frac{1}{256})}{frac{1}{2}}\ S_{8}=48*frac{255}{256}*2\ S_{8}=3*frac{255}{8}\ S_{8}=frac{765}{8}[/latex]
Wartość ilorazu obliczamy poprzez podzielenie czwartego wyrazu przez trzeci wyraz: [latex]a_{3}=12\a_{4}=6\\q=frac{a_{4}}{a_{3}}=frac{6}{12}=frac{1}{2}[/latex] Iloraz tego ciągu ma wartość równą [latex]frac{1}{2}[/latex] Mając podaną wartość dwóch wyrazów i obliczoną wartość ilorazu obliczamy wartość pierwszego wyrazu, z wykorzystaniem wzoru ogólnego ciągu geometrycznego: [latex]q=frac{1}{2}\a_{3}=12\\a_{3}=a_{1}*q^{2}\a_{1}*(frac{1}{2})^{2}=12\frac{1}{4}a_{1}=12\a_{1}=12:frac{1}{4}\a_{1}=12*4\a_{1}=48[/latex] Pierwszy wyraz tego ciągu ma wartość równą 48 S₈ obliczamy za pomocą wzoru na sumę częściową ciągu geometrycznego: [latex]a_{1}=48\q=frac{1}{2}\\S_{n}=a_{1}*frac{1-q^{n}}{1-q}\\S_{8}=a_{1}*frac{1-q^{8}}{1-q}\\S_{8}=48*frac{1-(frac{1}{2})^{8}}{1-frac{1}{2}}\\S_{8}=48*frac{1-frac{1}{256}}{frac{1}{2}}\\S_{8}=48*frac{frac{256}{256}-frac{1}{256}}{frac{1}{2}}[/latex] [latex]S_{8}=48*frac{frac{255}{256}}{frac{1}{2}}\\S_{8}=48*frac{255}{256}*2\\S_{8}=48*frac{255}{128}*1\\S_{8}=3*frac{255}{8}\\S_{8}=frac{765}{8}\\S_{8}=95frac{5}{8}[/latex] S₈ ma wartość równą [latex]95frac{5}{8} [/latex]
