1. Wykaż, że ciąg (an) jest rosnący. a) [latex]a_{n}=n^{2}/ 2[/latex] (ułamek) b) [latex]a_{n}=-2n/n^{2}+1[/latex] (ułamek)   2. Wykaż, że ciąg (an) jest malejący. a) [latex]a_{n}=4/n+2[/latex] (ułamek) b) [latex]a_{n}=n-n^{2}[/latex]

Rozwiązanie w załączniku

1a] an=n²/2 a(n+1)=(n+1)² /2=[n²+2n+1)/2= n²/2+2n/2+1/2=n²/2+n+½ a(n+1)-an=n²/2+n+½-n²/2=n+½               n≥1               więc n+½>0   czyli ciąg jest rosnacy b] an=-2n/(n²+1) a(n+1)=[-2(n+1)] / (n²+1)=[ -2n-2] / [ n²+1]= -2n/(n²+1)   -2/ (n²+1) a(n+1)-an=-2n / (n²+1)  - 2/ (n²+1)  - [-2n / (n²+1)]=-2/ (n²+1)  ciąg jest rosnacy bo przy ujemnym liczniku i zawsze dodatnim mianowniku, kolejne wyrazy są wieksze: a₁=-2/2=-1 a₂=-2/5 a₃=-2/10=-1/5 2a] a(n+1)=4/(n+1+2)=4/(n+3) a(n+1)-an=4 / (n+3)- 4/ (n+2)=[ 4 (n+2)-4(n+3)]/( n²+5n+6)= - 4n / (n²+5n +6) mianownik >0 bo n≥1 licznik zawsze ujemny i jego wartośc maleje, czyli ciag jest malejacy a₁=4/3 a₂=4/4=1 a₃=4/5 b] a(n+1)=n+1-(n+1)²=n+1-n²-2n-1=-n²-n a(n+1)-an=-n²-n-(n-n²)=-n²-n-n+n²=-2n ciąg jest malejacy bo dla n≥1  przy ujemnym całkowitym współczynniku równym (-2) kolejne wyrazy są coraz mniejsze a₁=0 a₂=-2 a₃=-5