Zad. 5 Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik α - kąt zawarty między bokiem AB a styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie A α = |∢BAP| ∢BAE - kąt wewnetrzny pięciokąta ABCDE Miarę kąta wewnętrznego β wielokąta foremnego o n bokach można obliczyć ze wzoru: [latex]eta =180^o - frac{360^o}{n}[/latex] Zatem miara kąta BAE wynosi: [latex]|sphericalangle BAE| = 180^o - frac{360^o}{5} = 180^o - frac{360^o}{5} = 180^o - 72^o = 108^o[/latex] Stąd miara kąta BAO wynosi: [latex]|sphericalangle BAO| = frac{1}{2} cdot |sphericalangle BAE| = frac{1}{2} cdot 108^o = 54^o[/latex] Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wychodzącego z punktu styczności, więc miara kąta OAP wynosi: [latex]|sphericalangle OAP| = 90^o[/latex] Zatem [latex]|sphericalangle BAP | = |sphericalangle OAP| -|sphericalangle BAO| =90^o- 54^o = 36^o \ Zatem: \ alpha = 36^o[/latex] Odp. α = 36°. Zad. 6b n = 8 Jest to podobne zadanie do zadania 5, z tą różnicą, że n = 8 (zad. 5 - n = 5), czyli możemy zastosować tę samą metodę rozwiązania. α - kąt zawarty miedzy bokiem AB a styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie A β - kąt wewnetrzny ośmiokąta (n = 8) [latex]eta = 180^o - frac{360^o}{8} = 180^o - 45^o = 180^o - 45^o = 135^o \\ frac{1}{2} cdot eta =frac{1}{2} cdot 135^o = 67,5^o[/latex] [latex]alpha = 90^0 - eta = 90^o - 67,5^o = 22,5^o[/latex] Odp. α = 22,5° Zad. 1 Oznaczenia jak na rysunku - patrz załaczanik r = 4 ΔAOB - trójkąt równoramienny α - kąt zawarty miedzy cięciwą AB a styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie B a) ΔAOB - trójkąt prostokątny i równoramienny, zatem: |∢ABO| = (180° - 90°) :2 = 45° |∢OBP| = 90° (styczna k jest prostopadła do promienia OB) α = |∢OBP| - |∢ABO| = 90° - 45° = 45° Odp. α = 45° b) l - długość łuku AB l = π Długość łuku l wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze β stopni w okręgu o promieniu r wynosi: [latex]l = frac{eta}{180^o} cdot pi r[/latex] Stąd: [latex]pi= frac{eta}{180^o} cdot pi cdot 4 \ pi= frac{eta}{45^o} cdot pi /: pi \ frac{eta}{45^o} = 1 / cdot 45^o \ eta =45^o[/latex] ΔAOB jest trójkątem równoramiennym, zatem: |∢ABO| = (180° - 45°) :2 = 67,5° |∢OBP| = 90° (styczna k jest prostopadła do promienia OB) α = |∢OBP| - |∢ABO| = 90° - 67,5° = 22,5° Odp. α = 22,5° c) |AB| = 4√3 |AO| = |BO| = 4 Skorzystamy z tw. cosunusów: W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. Stąd: [latex]|AO|^2 = |BO|^2 + |BA|^2 - 2 cdot |BO| cdot |AB| cdot cos |sphericalangle ABO| \ 4^2 = 4^2 + (4sqrt{3})^2 - 2 cdot 4 cdot 4sqrt{3} cdot cos |sphericalangle ABO| \ 16 = 16 + 48 - 32sqrt{3} cdot cos |sphericalangle ABO| \ 16 = 64 - 32sqrt{3} cdot cos |sphericalangle ABO| \ 32sqrt{3} cdot cos |sphericalangle ABO| =64 - 16 \ 32sqrt{3} cdot cos |sphericalangle ABO| = 48 /:32sqrt{3} \ cos |sphericalangle ABO| =frac{48}{32sqrt{3}}[/latex] [latex]cos |sphericalangle ABO| =frac{3 cdot sqrt{3}}{2sqrt{3} cdot sqrt{3}} \ cos |sphericalangle ABO| =frac{3 cdot sqrt{3}}{2 cdot 3} \ cos |sphericalangle ABO| =frac{sqrt{3}}{2} \ |sphericalangle ABO| = 30^o[/latex] |∢OBP| = 90° (styczna k jest prostopadła do promienia OB) α = |∢OBP| - |∢ABO| = 90° - 30° = 60° Odp. α = 60°.
