Rozwiąż równanie. (Mat. roz.) a) [latex] frac{2x}{2x+3} -1= frac{2x}{2x-3} [/latex] b) [latex] frac{6}{x} -1= frac{2}{x-1} [/latex] c) [latex] frac{2x+1}{x^2-9} - frac{3}{x-3} =0[/latex] d) [latex] frac{1}{1-x} + frac{x}{x-1} =1[/latex]

Tutaj są rozwiązania. Na kartce jest zapisane, które to A itp.

W każdym przykładzie musimy określić dziedzinę. Mamy wyrażenia wymierne, zatem w mianowniku nie może być liczba 0. [latex]a) D:\2x+3 eq0 wedge 2x-3 eq0\2x eq-3 wedge 2x eq3 |:2\\x eq-dfrac{3}{2} wedge x eqdfrac{3}{2}[/latex] [latex]dfrac{2x}{2x+3}-1=dfrac{2x}{2x-3}\\dfrac{2x}{2x+3}-dfrac{2x+3}{2x+3}=dfrac{2x}{2x-3}\\dfrac{2x-2x-3}{2x+3}=dfrac{2x}{2x-3}\\dfrac{-3}{2x+3}=dfrac{2x}{2x-3} |mnozymy na krzyz\\-3(2x-3)=2x(2x+3)\\-6x+9=4x^2+6x\\4x^2+6x+6x-9=0\\4x^2+12x-9=0 |+18\\4x^2+12x+9=18\\(2x)^2+2cdot2xcdot3+3^2=18\\(2x+3)^2=18 o 2x+3=sqrt{18} vee 2x+3=-sqrt{18}\\2x=sqrt{9cdot2}-3 vee 2x=-sqrt{9cdot2}-3\\2x=3sqrt2-3 vee 2x=-3sqrt2-3 |:2\\x=dfrac{3sqrt2-3}{2}in D vee x=-dfrac{3sqrt2+3}{2}in D[/latex] [latex]b) D:\x eq0 wedge x-1 eq0\\x eq0 wedge x eq1[/latex] [latex]dfrac{6}{x}-1=dfrac{2}{x-1}\\dfrac{6}{x}-dfrac{x}{x}=dfrac{2}{x-1}\\dfrac{6-x}{x}=dfrac{2}{x-1} |mnozymy na krzyz\\(6-x)(x-1)=2x\\6x-6-x^2+x-2x=0\\-x^2+5x-6=0 |cdot(-1)\\x^2-5x+6=0\\x^2-2x-3x+6=0\\x(x-2)-3(x-2)=0\\(x-2)(x-3)=0iff x-2=0 vee x-3=0\\x=2in D vee x=3in D[/latex] [latex]c) D:\x^2-9 eq0 wedge x-3 eq0\\x^2 eq9 wedge x eq3\\x eq-3 wedge x eq3[/latex] [latex]dfrac{2x+1}{x^2-9}-dfrac{3}{x-3}=0\\dfrac{2x+1}{x^2-9}-dfrac{3(x+3)}{(x-3)(x+3)}=0\\dfrac{2x+1}{x^2-9}-dfrac{3x+3}{x^2-9}=0\\dfrac{2x+1-3x-3}{x^2-9}=0\\dfrac{-x-2}{x^2-9}=0iff-x-2=0 o x=-2in D[/latex] [latex]d) D:\1-x eq0 wedge x-1 eq0\\x eq1[/latex] [latex]dfrac{1}{1-x}+dfrac{x}{x-1}=1\\dfrac{1}{1-x}+dfrac{x}{-(1-x)}=1\\dfrac{1}{1-x}-dfrac{x}{1-x}=1\\dfrac{1-x}{1-x}=1\\1=1-tozsamosc\\xinmathbb{R}-{1}[/latex]