a) Liczba podzielna przez 10 jest podzielna przez 2 i przez 5. Przez 2 dziela sie te liczby, ktore maja cyfre jednosci 0, 2, 4, 6 lub 8, przez 5 dziela sie te liczby, ktore maja cyfre jednosci 0 lub 5. Czescia wspolna tych zbiorow jest cyfra jednosci rowna 0 ⇔ liczba jest podzielna przez 10. II dowod bardziej matematyczny. [latex]\ W systemie dziesietnym kazda liczbe mozna zapisac \w postaci: \k=a_n*10^n+a_{n-1}*10^{n-1}+...+a_1*10+a_o= \10(a_n*10^{n-1}+a_{n-1}*10^{n-2}+...+a+1)+a_o[/latex] Pierwszy skladnik sumy jest podzielny przez 10, o podzielnosci calej liczby przez 10 decyduje a_0. Tylko 0 jest podzielne przez 10. co konczy dowod. b) Liczbe trzycyfrowa o cyfrach setek a, dziesiatek b, jednosci c mozemy zapisac w postaci: 100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=(99a+9b)+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c) Pierwszy skladnik sumy jest podzielny przez 3 i przez 9, wynika z tego, ze o podzielnosci sumy nawiasow przez 3 decyduje drugi nawias. Jezeli suma a+b+c jest podzielna przez 3 , to cala liczba dzieli sie przez 3.
a) Liczba naturalna jest podzielna przez 10 wtedy, gdy ostatnią cyfrą tej liczby jest 0. Dowód: Liczbę naturalną k można w systemie dziesiętnym zapisać jako sumę potęg liczby 10: [latex](1) k = a_n cdot 10^n + a_{n-1} cdot 10^{n-1}+...+ a_1 cdot 10 +a_0[/latex] gdzie [latex]a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0[/latex] są cyframi liczby k. ---------------------- np. liczba k = 3458 może być zapisana jako suma: k = 3·10³ + 4·10² + 5·10 + 8 ---------------------- Przekształcamy sumę (1) wyciągając 10 przed nawias i otrzymujemy: [latex](2) k = 10 cdot (a_n cdot 10^{n-1} + a_{n-1} cdot 10^{n-2}+...+ a_1)+a_0[/latex] Na podstawie własności podzielności liczb: - iloczyn jest podzielny przez daną tę liczbę jeżeli w iloczynie jeden czynnik jest podzielny przez tę liczbę - suma jest podzielna przez daną liczbę jeżeli każdy składnik sumy jest podzielny przez tę liczbę możemy stwierdzić, że pierwszy składnik sumy (2) dzieli się zawsze przez 10, ponieważ jest iloczynem liczby 10. Zatem suma (2) będzie podzielna przez 10 jeżeli a₀ będzie podzielne przez 10, czyli gdy ostatnia cyfra liczby k będzie zerem, bo a₀ ∈ {0, 1, 2, …. 9}, a spośród tych liczb tylko liczba 0 jest podzielna przez 10. Zatem liczba k będzie podzielna przez 10 jeśli ostatnią cyfrą liczby k będzie 0, co należało udowodnić. b) Liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 3 wtedy, gdy suma cyfr tej liczby dzieli się przez 3. Dowód: Trzycyfrową liczbę możemy zapisać w systemie dziesiętnym zapisać jako sumę potęg liczby 10: [latex](1) k = a_2 cdot 10^2 + a_1 cdot 10+ a_0[/latex] gdzie [latex]a_2 a_1, a_0[/latex] są cyframi liczby k. Sumę (1) możemy przeształcić w ten sposób, że po każdym składniku dodajmy i odejmijmy (suma nie ulegnie zmianie) liczbę równą kolejnej cyfrze danej liczby k i wtedy otrzymujemy: [latex](2) k = a_2 cdot 10^2 +a_2 - a_2 +a_1 cdot 10 +a_1 - a_1+a_0+a_0-a_0[/latex] Przekształcamy sumę (2) i otrzymujemy: [latex](3) k = a_2 cdot 10^2 - a_2 +a_1 cdot 10 - a_1+a_2 +a_1+a_0= \ = [a_2 cdot (10^2 -1) +a_1 cdot (10 - 1)]+(a_2 +a_1+a_0) = \ =[a_2 cdot (100 -1) +a_1 cdot (10 - 1)]+(a_2 +a_1+a_0) = \ =(a_2 cdot 99 +a_1 cdot 9)+(a_2 +a_1+a_0)[/latex] W sumie (3) suma w pierwszym nawiasie dzieli się przez 3, ponieważ jej oba składniki dzielą się przez 3. Zatem o podzielności liczby k przez 3 decyduje suma w drugim nawiasie, a jak widać, jest to suma cyfr liczby k, czyli liczba k będzie podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr będzie podzielna przez 3, co należało udowodnić.
