System binarny, to taki, w którym zapisujemy liczby za pomocą tylko dwóch cyfr: 0 i 1. Zacznę od analogii do systemu dziesiętnego :) W systemie dziesiętnym, czyli tym, którym posługujemy się na co dzień, używamy tak naprawdę potęg liczby 10. Np liczbę 234 można zapisać jako: [latex]234 = 2cdot 100 + 3 cdot 10 + 4cdot 1 = 2cdot 10^2 + 3 cdot 10^1 + 4 cdot 10^0[/latex]. Podobnie jest z liczbami w systemie binarnym. Każdej pozycji odpowiadają kolejne potęgi dwójki (licząc od 0, od prawej do lewej). Czyli na przykład liczba 110 w systemie dwójkowym to: [latex]110_2 = 1 cdot 2^2 + 1 cdot 2^1 + 0cdot 2^0[/latex]. Licząc dalej otrzymujemy, że liczba 110 to w systemie dziesiętnym 4 + 2 = 8. Tak więc zamiana z systemu binarnego na dziesiętny jest dosyć prosta: rozpisujemy sobie wszystko przy użyciu potęg dwójki, pamiętając, że cyfra pierwsza od prawej odpowiada [latex]2^0[/latex], druga od prawej [latex]2^1[/latex], trzecia od prawej [latex]2^2[/latex] itd. Twoje przykłady: [latex]11111111_2 = 1cdot 2^7 + 1cdot 2^6+ 1cdot 2^5+ 1cdot 2^4+ [/latex] [latex] + 1cdot 2^3+ 1cdot 2^2+ 1cdot 2^1+ 1cdot 2^0 = [/latex] [latex] = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255[/latex] [latex]10101010_2 = 1cdot 2^7 + 0cdot 2^6+ 1cdot 2^5+ 0cdot 2^4+ [/latex] [latex] + 1cdot 2^3+ 0cdot 2^2+ 1cdot 2^1+ 0cdot 2^0 = [/latex] [latex] = 128+32+8+2 = 170[/latex] Zamiana z systemu dziesiętnego na binarny polega na znalezieniu, które potęgi dwójki dadzą w sumie daną liczbę. Warto mniej więcej się orientować, ile wynoszą kolejne potęgi dwójki. Dla pierwszych 8: [latex]2^0 = 1,[/latex] [latex]2^1 = 2,[/latex] [latex]2^2 = 4,[/latex] [latex]2^3 = 8,[/latex] [latex]2^4 = 16,[/latex] [latex]2^5 = 32,[/latex] [latex]2^6 = 64,[/latex] [latex]2^7 = 128[/latex]. Z tych wszystkich liczb można stworzyć dowolną liczbę z zakresu 0-255 (tyle maksymalnie mieści się na jednym bajcie - ośmiu bitach) Żeby zamienić liczbę z systemu dziesiętnego na binarny, najpierw szukamy, jaka jest największa potęga dwójki, która mieści się w szukanej liczbie. Następnie odejmujemy ją od tej liczby, i sprawdzamy, która kolejna potęga mieści się w pozostałej liczbie. Na przykładzie: Dla liczby 43 patrzymy, że mieści się w niej najwyżej 32, czyli [latex]2^5[/latex]. 43 - 32 = 11. W 11 mieści się najwyżej 8, czyli [latex]2^3[/latex]. 11 - 8 = 3. Można od razu zapamiętać, że 3 to 2+1, czyli [latex]2^1 + 2^0[/latex]. Czyli liczba 43 jest sumą: [latex]43 = 2^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0[/latex]. Żeby było łatwiej, dopisujemy pozostałe potęgi, mnożąc je przez 0: [latex]43 = 1cdot 2^5 + 0 cdot 2^4 + 1cdot 2^3 + 0 cdot 2^2 +1cdot 2^1 + 1cdot 2^0[/latex]. Spisujemy liczby stojące przy potęgach dwójki i otrzymujemy zapis liczby 43 w systemie binarnym: 101011. Analogicznie jest dla liczby 33 - tylko krócej :) [latex]33 = 2^5 + 2^0[/latex], więc liczba 33 w systemie binarnym to: 100001.
