Rozwiązania w załącznikach. Zad. 3 a) a = 6 cm, P k = [latex] pi R^{2} [/latex] , P k = ? [latex]h = frac{a sqrt{3} }{2}\h = frac{6 sqrt{3} }{2} = 3 sqrt{3} [cm]\ [/latex] R - promień koła opisanego na trójkącie [latex]R = frac{2}{3}h = frac{2}{3} * 3 sqrt{3 =} = 2 sqrt{3} [cm]\Pk = pi *(2 sqrt{3}) ^{2} = 12 pi [cm ^{2} ] [/latex] Zad. 3 b) P t - pole trójkąta, P k = pole koła P t = [latex]36 sqrt{3} cm ^{2} \Pk = pi R^{2}\P t = frac{ a^{2} sqrt{3} }{4} \Czyli: frac{ a^{2} sqrt{3} }{4} = 36 sqrt{3} /*4\ a^{2} sqrt{3} = 144 sqrt{3}\ a^{2} = 144 \a = 12 cm [/latex] h - wysokość trójkąta równobocznego, R - promień koła opisanego na trójkącie [latex]h = frac{a sqrt{3} }{2} = frac{12 sqrt{3} }{2} = 6 sqrt{3} [cm]\R = frac{2}{3}h = frac{2}{3} * 6 sqrt{3} = 4 sqrt{3} [cm]\Czyli: P k = pi * (4 sqrt{3}) ^{2} = pi * 16*3 = 48 pi [cm ^{2} ] [/latex]
Ćw. 4 Wierzchołki trójkąta należą do okręgu opisanego na tym trójkącie, zatem współrzędne tych wierzchołków spełniają równane okręgu: [latex](x -a)^2 + (y -b)^2 = r^2[/latex] gdzie a, b to współrzędne środka S okręgu, r to promień okręgu b) [latex]A = (-2; 2), B = (2; - 2), C = (2; 8)[/latex] [latex]egin{cases} (-2 -a)^2 + (2 -b)^2 = r^2 \(2-a)^2 + (-2 -b)^2 = r^2 \(2 -a)^2 + (8 -b)^2 = r^2 end{cases} \\ egin{cases} 4+4a+a^2+ 4-4b+b^2= r^2 \4-4a+a^2 +4+4b+b^2= r^2 \4-4a+a^2+64-16b+b^2= r^2 end{cases} \\ egin{cases} a^2+ 4a+b^2-4b+8 =r^2 \a^2-4a+b^2+4b+8= r^2 / cdot (-1) \a^2-4a+b^2-16b+68= r^2 end{cases}[/latex] [latex]egin{cases} a^2+ 4a+b^2-4b+8 r^2 \-a^2+4a-b^2-4b-8= -r^2\a^2-4a+b^2-16b+68= r^2 end{cases}[/latex] (2)+(3) [latex]-20b+60=0 \ -20b = -60 /:(-20) \ b = 3[/latex] [latex]egin{cases} a^2+ 4a+b^2-4b+8 =r^2 \a^2-4a+b^2+4b+8= r^2 end{cases} \\ egin{cases} a^2+ 4a+3^2-4 cdot 3+8 =r^2 \a^2-4a+3^2+4 cdot 3+8= r^2 end{cases} \\ egin{cases} a^2+ 4a+9-12+8 =r^2 \a^2-4a+9+12+8= r^2 end{cases} \\ egin{cases} a^2+ 4a+5 =r^2 / cdot (-1) \a^2-4a+29= r^2 end{cases}[/latex] [latex]underline{egin{cases} -a^2-4a-5 =-r^2 \a^2-4a+29= r^2 end{cases}} \\ -8a+24 = 0 \ -8a = - 24 /:(-8) \ a = 3 \\ a^2+ 4a+5 =r^2 \ 3^2 +4 cdot 3 +5 = r^2 \ r^2 = 9+12+5 \ r^2 = 26 \ r = sqrt{26}[/latex] Zatem: [latex]S = (3; 3), r = sqrt{26}[/latex] c) [latex]A = (-2; 2), B = (4; - 4), C = (12; 4)[/latex] [latex]egin{cases} (-2 -a)^2 + (2 -b)^2 = r^2 \(4 -a)^2 + (-4 -b)^2 = r^2 \(12 -a)^2 + (2 -b)^2 = r^2 end{cases} \\ egin{cases} 4+4a+a^2 + 4 - 4b +b^2 = r^2 \16 - 8a +a^2 + 16 +8b+b^2= r^2 \144-24a+a^2 + 4-4b+b^2= r^2 end{cases} \\ egin{cases} a^2 +4a+b^2-4b+8= r^2 / cdot (-1) \a^2 -8a+b^2+8b+32= r^2 / cdot (-1)\a^2 -24a+ b^2-4b+148= r^2 end{cases}[/latex] [latex]egin{cases} -a^2 -4a-b^2+4b-8= -r^2 \-a^2 +8a-b^2-8b-32=- r^2\a^2 -24a+ b^2-4b+148= r^2 end{cases} \\ egin{cases} -28a+140=0 \-16a-12b+116=0 end{cases} \\ egin{cases} -28a=-140 / :(-28) \-16a-12b+116=0 end{cases} \\ egin{cases} a=5 \-16 cdot 5-12b+116=0 end{cases} \\ egin{cases} a=5 \-80-12b+116=0 end{cases}[/latex] [latex]egin{cases} a=5 \-12b+36=0 end{cases} \\ egin{cases} a=5 \-12b= -36 /:(-12) end{cases} \\ egin{cases} a=5 \b= 3 end{cases}[/latex] [latex]a^2 +4a+b^2-4b+8= r^2 \ 5^2 +4 cdot 5 +3^2-4 cdot 3+8= r^2 \ r^2 = 25+20 +9-12+8 \ r^2 =50 \ r = sqrt{50} \ r = sqrt{25 cdot 2} \ r = 5sqrt{2}[/latex] Zatem: [latex]S = (5; 3), r = 5sqrt{2}[/latex] Zad. 3 Środek trójkąta równobocznego dzieli każdą z wysokości w stosunku 2:1, promień okręgu (koła) opisanego na trójkącie równobocznym to [latex]frac{2}{3}[/latex] wysokości, czyli [latex]R = frac{2}{3} cdot h =frac{2}{3} cdot frac{a sqrt{3}}{2} =frac{a sqrt{3}}{3}[/latex] Zatem pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku a wynosi: [latex]P = pi r^2 = pi cdot (frac{a sqrt{3}}{3})^2 = pi cdot frac{a^2 cdot 3}{9} =frac{a^2 cdot pi}{3}[/latex] a) [latex]a = 6 cm \\ P =frac{a^2 cdot pi}{3}=frac{6^2 cdot pi}{3}=frac{36 cdot pi}{3} = 12pi cm^2[/latex] Odp. Pole koła wynosi [latex]12pi cm^2[/latex] b) [latex]P_t = 36 sqrt{3} cm^2 \\ P_t = frac{a^2 cdot sqrt{3}}{4}\\ frac{a^2 cdot sqrt{3}}{4} =36 sqrt{3} / cdot frac{4}{sqrt{3}} \\ a^2 = 144 \\ P_k=frac{a^2 cdot pi}{3} =frac{144 cdot pi}{3} =48 pi cm^2[/latex] Odp. Pole koła wynosi [latex]48 pi cm^2[/latex]
