Cześć! :) Iloczyn skalarny ma dwie definicje / interpretacje analityczne... Pierwsza to ... [latex]vec{a} cdot vec{b} = abcos( heta)[/latex] gdzie a i b to długości wektorów a i b. druga to ... [latex]vec{a} cdot vec{b} = a_xb_x + a_yb_y[/latex]. gdzie ax i bx to długości składowych wektorów a i b na oś OX ay i by to długości składowych wektorów a i b na oś OY. Mamy dwa wektory a i b. Kąt pomiędzy a a osią ox to alpha, kąt pomiędzy b a osią ox to beta. Czyli ... [latex] heta = alpha - eta[/latex] teraz podstawiając do pierwszego równania na iloczyn skalarny otrzymujesz [latex]vec{a} cdot vec{b} = abcos(alpha - eta)[/latex] Do udowodnienia ww zależności potrzeba jest zdefiniować składowe i jak się je oblicza... [latex]a_x = a cos(alpha)[/latex] [latex]a_y = a sin(alpha)[/latex] [latex]b_x = b cos(eta)[/latex] [latex]b_y = b sin(eta)[/latex]. I teraz łączysz dwa równania na iloczyn skalarny (przyrównujesz ich prawe strony - w takim zapisie jaki przedstawiłem wyżej) [latex]abcos(alpha - eta) = a_xb_x + a_yb_y[/latex] teraz pod składowe ax,ay,bx,by podstawiasz ich rozwinięcia przedstawione również wyżej... i otrzymujesz [latex]abcos(alpha - eta) = acos(alpha)bcos(eta) + asin(alpha)bsin(eta)[/latex] teraz z prawej strony równania wyłączasz przed nawias ab i skracasz z ab z lewej strony równania ... wygląda to tak... [latex]abcos(alpha - eta) = ab (cos(alpha)cos(eta) + sin(alpha)sin(eta))[/latex] i po skróceniu [latex]cos(alpha - eta) = cos(alpha)cos(eta) + sin(alpha)sin(eta)[/latex] Koniec dowodu! :) Powodzenia! :)
