[latex]Teoria.\\a_1; a_2; a_3-ciag arytmetyczny, wtedy a_2=frac{a_1+a_3}{2}\\b_1; b_2; b_3-ciag geometryczny, wtedy b_2^2=b_1b_3[/latex] [latex]1; x; y-1-cieg arytmetyczny, wtedy x=frac{1+y-1}{2}; x=frac{y}{2}\\x; y; 12-ciag geometryczny, wtedy y^2=12x oraz x i y eq0\\Mamy uklad rownan:\\ left{egin{array}{ccc}x=frac{y}{2}\y^2=12xend{array} ight\\Podstawiamy za x do drugiego rownania:[/latex] [latex]y^2=12cdotfrac{y}{2}\\y^2=6y\\y^2-6y=0\\y(y-6)=0\\Iloczyn jest rowny 0 gdy jeden z czynnikow jest rowny 0, czyli:\\y=0 otin D lub y-6=0 o y=6\\ left{egin{array}{ccc}y=6\x=frac{6}{2}end{array} ightRightarrowleft{egin{array}{ccc}y=6\x=3end{array} ight[/latex] [latex]Ciag geometryczny: 3; 6; 12\\a_1=3; q=frac{6}{3}=2\\\©DRK[/latex]
Na początku musimy stworzyć układ równań . Możemy to zrobić dzięki własnością ciągów : pierwsze równanie układu : x = 1+y-1 / 2 --> korzystamy z własności ciągu arytmetycznego : an= an-1 + an+1 / 2 ( n , n-1 i n+1 to indeksy dolne) drugie równanie układu : y2= x * 12 --- > korzystamy z własności ciągu geometrycznego : a2n = an-1 * an+1 ( n , n-1 , n+1 to indeksy dolne , 2 to potęga) I teraz musimy rozwiązać układ : [latex] left { {{x= frac{1+y-1}{2} } atop { y^{2} =12x}} ight. left { {{2x=y} atop { y^{2} =12x}} ight. left { {{y=2x} atop { (2x)^{2} =12x}} ight. 4x^{2} =12x / : 4 x^{2} = 3x x^{2} - 3x = 0 x(x-3)=0 stad wynika : x1= 0 x2= 3 (bo x-3 -- x=3) y1 = 2*0 =0 y2 = 2*3 =6 - dlatego tak bo wczesniej w ukladzie rownan wyznaczylismy ze y=2x ( wystarczy tutaj podstawic do tego) [/latex] Teraz wracamy do treści gdzie pisze że ( 1, x , y-1 ) to ciąg arytmetyczny a ( x, y , 12) to ciąg geometryczny . Podstawiamy x1 i y1 i x2 i y2 . Po podstawieniu otrzymujemy : Dla x1 i y1 : (1,0,-1) oraz ( 0, 0 , 12) -- ciąg arytmetyczny dobry nam powstał ( ponieważ każdy wyraz zwiększa się o -1) , ale 2 to nie ciąg geometryczny ( ponieważ każdy wyraz ciągu geometrycznego musi zwiększać się o tyle samo -- poprzez pomnożenie przez iloraz q poprzedniego wyrazu ciągu) więc źle Dla x2 i y2 ( 1,3,5) ( 3,6,12) - ciąg 1 jest arytmetyczny ( ponieważ każdy kolejny wyraz zwiększa się o 2) a 2 jest geometryczny ( ponieważ każdy kolejny wyraz *2 jest) -- wiec wszystko się zgadza . Odp. Szukanymi x i y są liczby 3 i 6.
