Najlepszą metodą i rozwiązującą WSZYSTKIE pierwiastki funkcji kwadratowej jest obliczanie jej za pomocą delty. Gdy mamy daną funkcję [latex]f(x)=ax^{2}+bx+c[/latex] liczymy tzw. wyróżnik delty. Zachodzi tu [latex]Delta=b^{2}-4ac[/latex] Delta mówi nam o tym ile pierwiastków ma funkcja kwadratowa: [latex]hbox{Jesli} Delta < 0 hbox{oznacza to brak pierwiastkow rzeczywistych} \ hbox{Jesli} Delta=0 hbox{oznacza ze funkcja ma 1 pierwiastek rzeczywisty} \ hbox{Jesli} Delta>0 hbox{oznacza to ze ze funkcja ma 2 pierwiastki rzeczywiste}[/latex] By wyliczyć pierwiastki x1, x2 korzystamy ze wzorów: [latex]x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a} \ x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}[/latex] Na przykład: [latex]f(x)=x^{2}+5x-6[/latex] Liczymy deltę: [latex]Delta=5^{2}-4 cdot 1 cdot -6=25-(-24)=49 \ sqrt{Delta}=7[/latex] I wyznaczamy pierwiastki: [latex]x_{1}=frac{-5-7}{2}=frac{-12}{2}=-6 \ x_{2}=frac{-5+7}{2}=frac{2}{2}=1[/latex] W przypadku gdy Delta=0 zauważ, że [latex]sqrt{Delta}=0[/latex] więc jedyny pierwiastek jest, którego wzór to [latex]x=frac{-b}{2a}[/latex] Innym sposobem (NIE ZAWSZE SKUTECZNYM!) jest zwijanie we wzór skróconego mnożenia. 1: [latex]a^{2}underline{+}2ab+b^{2}=(aunderline{+}b)^{2}[/latex] To się zawsze sprawdzi gdy Delta=0. PRZYKŁAD: [latex]f(x)=x^{2}+2x+1[/latex] Ze wzoru skróconego mnożenia od razu możemy napisać, że [latex]f(x)=(x+1)^{2}[/latex] Skąd od razu odczytujesz pierwiastek: x+1=0 czyli x=-1. Inny przykład: [latex]f(x)=4x^{2}-4x+1[/latex] Stąd za pomocą tego wzoru "zwijasz" i masz że [latex]f(x)=(2x-1)^{2}[/latex] Skąd już łatwo odczytać pierwiastek x=0,5. Jeszcze inny: [latex]f(x)=-x^{2}-6x-9[/latex] Tutaj zauważasz, że [latex]f(x)=-(x^{2}+6x+9)=-(x+3)^{2}[/latex] I odczytujesz pierwiastek: x=-3. Gdy współczynnik b=0 możesz wykorzystać wzór [latex]a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)[/latex] jednak sądzę, że nie jest to potrzebne. Dlaczego? Zaraz wytłumaczę. Przykład: [latex]f(x)=x^{2}-4[/latex] By rozwiązać f(x)=0 korzystasz z tego wzoru i otrzymasz: [latex]f(x)=(x+2)(x-2)[/latex] Skąd odczytujesz pierwiastki x=2 oraz x=-2 Innym sposobem jest zrobienie: [latex]x^{2}-4=0 \ x^{2}=4 \ x=2 quad hbox{oraz} quad x=-2[/latex] Innym przykładem jest [latex]f(x)=x^{2}-3[/latex] Czyli [latex]f(x)=(x-sqrt{3})(x+sqrt{3})[/latex] Skąd odczytujemy dwa pierwiastki: pierwiastek z 3 i -pierwiastek z 3 Co, gdy [latex]f(x)=x^{2}+4[/latex] ? Gdy masz dodać oraz b=0, to równanie jest sprzeczne, nie ma pierwiastków. Innym przykładem jest równanie gdy c=0. Wtedy wystawiasz x przed nawias. Przykład: [latex]f(x)=x^{2}-9x[/latex] po wystawieniu iksa przed nawias otrzymasz: [latex]x(x-9) [/latex] skąd odczytujesz pierwiastki: x=0 oraz x=9. To myślę że jest jasne. Są jeszcze inne sposoby liczenia, dość sprytne. Pokażę na przykłądzie: [latex]f(x)=x^{2}+2x-3[/latex] Logicznym jest, że [latex]x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1-4[/latex] Teraz przed -4 zwijamy to do wzoru skróconego mnożenia. Otrzymamy: [latex](x+1)^{2}-4[/latex] I wykorzystujemy wzór [latex]a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)[/latex] przy czym u nas a=x+1 a b=2. Otrzymasz: [latex]f(x)=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)[/latex] A więc doszliśmy do pierwiastków: x=-3 oraz x=1. Można czasem pogłówkować i myślić jak przeinaczać równania, jednak generalnie i ajczęściej i najszybciej (sądzę) liczy się to za pomocą delty :) W razie pytań, pisz na priv :P
