Zad.26 Uzasadnij że liczba [latex]x = sqrt{3+8^- ^frac{4}{3} } [/latex] jest wymierna Zad.32 Trzy liczby których suma jest równa 105,tworzą ciąg geometryczny.Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 45, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.Wyznacz te liczby.

Zad.26 Uzasadnij że liczba [latex]x = sqrt{3+8^- ^frac{4}{3} } [/latex] jest wymierna Zad.32 Trzy liczby których suma jest równa 105,tworzą ciąg geometryczny.Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 45, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.Wyznacz te liczby.
Odpowiedź

zadanie 26. [latex]x= sqrt{3+8^{- frac{4}{3} }} =sqrt{3+(2^{3})^{- frac{4}{3} } }=sqrt{3+2^{-4}}=sqrt{3+( frac{1}{2} )^{4}}=sqrt{3+ frac{1}{16}}= \ = sqrt{ frac{49}{16} } }= frac{7}{6} [/latex] Ponieważ 7/6 jest liczbą wymierną,  więc liczba   jest wymierna, co należało uzasadnić. zadanie 32. x, y, z - ciąg geometryczny oraz x+y+z = 105 x-45, y, z - ciąg arytmetyczny y = x·q  oraz  z = x·q²,   stąd   x + x·q + x·q² = 105                                              x·(1+q+q²) = 105,   stąd   x = 105 / (1+q+q²) ponadto z własności ciągu arytmetycznego mamy: 2y = x-45 + z,   czyli   2·x·q = x-45 + x·q²                            x·q² - 2·x·q + x = 45                            x·(q²-2q+1) = 45,   stąd   x = 45 / (q²-2q+1) mamy układ równań:                                x = 105 / (1+q+q²)                                x = 45 / (q²-2q+1) stąd    105 / (1+q+q²) = 45 / (q²-2q+1) Przekształcamy: 105·(q²-2q+1) = 45·(1+q+q²)   / :15                              7·(q²-2q+1) = 3·(1+q+q²) 7q²-14q+7 = 3+3q+3q²,   stąd   4q²-17q+4 = 0 Δ=(-17)²-4·4·4=289-64=225   ⇒   √Δ=15 [latex] q_{1} = frac{17-15}{2*4} = frac{2}{8} = frac{1}{4} \ q_{2} = frac{17+15}{2*4} = frac{32}{8} = 4[/latex] dla q= 1/4 mamy:                x = 105 / (1 + 1/4 + 1/16) = 105 / (21/16) = 105·16:21=80                y = 80·(1/4) = 20                z = 20·(1/4) = 5 dla q= 4 mamy:                 x = 105 / (1 + 4 + 16) = 105:21 = 5                y = 5·4 = 20                z = 20·4 = 80 odp. istnieją dwa ciągi geometryczne: 80, 20, 5   oraz   5, 20, 80

Dodaj swoją odpowiedź