1. Wiedząc, że [latex]cosx+sinx= sqrt{2} [/latex] oblicz [latex]cos^{3}x+sin^{3}x[/latex] 2. Dane jest równanie [latex]cosx=a^{3}-3[/latex], z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie możliwe wartości parametru a, dla których dane równanie ma rozwiązania.

[latex]sin^{3}x+cos^{3}x=(sin x+cos x)(sin^{2}x -sin x cos x +cos^{2}x)= \ =sqrt{2}(1-sin x cos x)[/latex] Obliczamy sinx * cos x: [latex]sin x + cos x =(sin x + cos x)^{2}-2 cos x sin x \ (sqrt{2})^{2}-2cos x sin x =sqrt{2} \ -2cos x sin x=sqrt{2}-2 \ cos x sin x=frac{2-sqrt{2}}{2}[/latex] POdstawiając masz: [latex]cos^{3}x+sin^{3}x=sqrt{2}(1-frac{2-sqrt{2}}{2})=sqrt{2}-frac{2sqrt{2}-2}{2}=frac{2sqrt{2}}{2}-frac{2sqrt{2}-2}{2}=frac{2}{2}=1[/latex] Równanie  cos x =   ma rozwiązania gdy to wyrażenie należy do przedziału <-1, 1>  A więc zachodzi: [latex]-1 le a^{3}-3le 1 \ 2le a^{3} le4 \ sqrt[3]{2}le a le sqrt[3]{4} quad \ hbox{wiec dla} a in langlesqrt[3]{2}, sqrt[3]{4} angle[/latex]