[latex]3.157\\a) 3^n+3^{n+3}+2^{n+2}=3^n+3^3cdot3^n+2^2cdot2^n=3^ncdot(1+27)+4cdot2^n\\=28cdot3^n+4cdot2^n=4cdot(7cdot3^n+2^n)\\W iloczynie wystepuje czynnik rowny 4, stad cala liczba jest\podzielna przez 4.[/latex] [latex]b) 7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}=7^2cdot7^n-2^2cdot2^n+7cdot7^n-2cdot2^n\\=7^ncdot(49+7)-2^ncdot(4+2)=7^ncdot56-2^ncdot6=2cdot(28cdot7^n-3cdot2^n)\\Ostatnie cyfry poteg liczby:\7^1 o7\7^2 o9\7^3 o3\7^4 o1\7^5 o7-powtarza sie co 4\\Kazda z tych liczb mnozymy przez 28, czyli ostatnie cyfry takiego\iloczynu:[/latex] [latex]28cdot7^1 o6\28cdot7^2 o2\28cdot7^3 o4\28cdot7^4 o8[/latex] [latex]2^n:\2^1 o2\2^2 o4\2^3 o8\2^4 o6\2^5 o2-powtarza sie co 4\\Wyniki potegowania beda mnozone przez 3, zatem ostatnie cyfry to\\3cdot2^1 o6\3cdot2^2 o2\3cdot2^3 o4\3cdot2^4 o8[/latex] [latex]Wyrazenia 28cdot7^n oraz 3cdot2^n maja identyczne ostatnie cyfry przy\odpowiadajacych potegach stad roznica miedzy mimi ma ostatnia\cyfre rowna 0. Zatem cala liczba jest podzielna przez 10.[/latex] [latex]3.158\\3^{n-2}+3^{n-1}+3^n+5^n+5^{n+2}=3^{-2}cdot3^n+3^{-1}cdot3^n+3^n+5^n+5^2cdot5^n\\=3^ncdot(frac{1}{9}+frac{1}{3}+1)+5^ncdot(1+25)=3^ncdot(frac{1}{9}+frac{3}{9}+frac{9}{9})+5^ncdot26\\=frac{13}{9}cdot3^n+13cdot2cdot5^n=13cdot(frac{1}{9}cdot3^n+2cdot5^n)=13cdot(3^{-2}cdot3^n+5^n)\\=13cdot(3^{n-2}+5^n)\\W iloczynie wystepuje liczba 13, czyli cala liczba jest\wielokrotnoscia liczby 13.[/latex]
