Prpstopadłosć prostych i płaszczyzn

1. Prostopadłość prostych w przestrzeni.





Proste prostopadłe na płaszczyźnie są to dwie przecinające się proste, z których każda jest osią symetrii drugiej z nich.


Proste o tej własności są też prostopadłe w przestrzeni. Rozszerzmy jednak pojęcie prostopadłości prostych w przestrzeni, obejmując nim proste skośne. Skorzystamy tu z pojęcia wektorów prostopadłych, które jest analogiczne na płaszczyźnie i w przestrzeni.








Rys. 1





Dwie proste nazywamy prostopadłymi wtedy, gdy


niezerowe wektory równoległe odpowiednio


do każdej z tych prostych są prostopadłe.











Przykład 1. Prosta równoległa do krawędzi bocznej prostopadłościanu jest prostopadła do każdej prostej równoległej do dowolnej krawędzi podstawy.























2. Prostopadłość prostej i płaszczyzny.





Rozważmy dwie płaszczyzny q i r, które przecinają się wzdłuż krawędzi k.





Przez punkt O krawędzi k poprowadźmy w płaszczyźnie q prostą a prostopadłą do prostej k, a w płaszczyźnie r - prostą b też prostopadłą do prostej k. Proste a i b przecinają się w punkcie O, więc wyznaczają płaszczyznę p. Prosta k jest zatem prostopadła do dwóch przecinających się prostych, zawartych w płaszczyźnie p.


Udowodnimy następujące twierdzenie:








Jeżeli prosta k jest prostopadła do dwóch przecinających się


prostych a i b, to prosta k jest prostopadła do każdej prostej,


zawartej w płaszczyźnie wyznaczonej przez proste a i b.








Dowód: Z definicji prostopadłości prostych wynika, że prosta k jest prostopadła do każdej prostej równoległej do prostej a lub b.





Wystarczy więc, gdy wykażemy, że prosta k jest prostopadła do trzeciej prostej, zawartej w płaszczyźnie p. i nierównoległej ani do prostej a, ani do b. Weźmy do rozważań prostą przechodzącą przez punkt O i oznaczmy ją przez c. (Rys. 2).



































Rys. 2


Niech wektory OA, OB, OC i OK. będą wektorami odpowiednio równoległymi do prostych a, b, c i k.


Ponieważ punkty O, A, B i C należą do płaszczyzny p. i punkty A, B, O są niewspółliniowe, więc istnieją takie liczby x i y, że:


OC = x * OA + y * OB


Na podstawie własności iloczynu skalarnego wektorów będziemy mieli:


OK. OC = (x * OA + y * OB) OK. = x * (OK. OA) + y * (OK. OB)


Z założenia twierdzenia wektor OK. jest prostopadły do wektorów OA i OB, więc


OK. OA = 0 i OK. OB = 0


Stąd otrzymujemy:


OK. OC = x * 0 + y * 0 = 0,


co oznacza, że wektor OK. jest prostopadły do wektora OC, czyli prosta k jest prostopadła do prostej c.


W ten sposób wykazaliśmy, że istnieje prosta, która jest prostopadła do każdej prostej, zawartej w płaszczyźnie; jest ona jednocześnie prostopadła do każdej prostej równoległej do płaszczyzny.





Prostą nazywamy prostopadłą do płaszczyzny wtedy, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie.





Wektor nazywamy prostopadłym do płaszczyzny wtedy, gdy jest równoległy do prostej prostopadłej do płaszczyzny.