Funkcja [latex]f colon mathbb{D} ightarrow mathbb{Y}[/latex] jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie [latex]x_0 in mathbb{D}.[/latex] Funkcja [latex]f colon mathbb{D} ightarrow mathbb{Y}[/latex] jest ciągła w punkcie [latex]x_0 in mathbb{D}[/latex], jeżeli obydwie strony równości [latex]limlimits_{x o x_0} f(x)=f(x_0)[/latex] istnieją, są skończone i sama równość jest prawdziwa. Funkcja przedstawiona w treści zadania jest ciągła w każdym z przedziałów [latex](-infty;0)cup (0;5) cup (5,infty),[/latex] wobec tego pozostaje sprawdzić ciągłość w [latex]x_0=0[/latex] oraz w [latex]x_0=5.[/latex] [latex]limlimits_{x o 0^-}f(x)=limlimits_{x o 0^-}2x^2+1=2cdot 0^2+1=1\ limlimits_{x o 0^+}f(x)=limlimits_{x o 0^+}3^x=3^0=1\ limlimits_{x o 0}f(x)=1\ f(0)=2cdot 0^2+1=1\ limlimits_{x o 0}f(x)=f(0)[/latex] Funkcja [latex]f[/latex] jest ciągła w punkcie [latex]x_0=0.[/latex] [latex]limlimits_{x o 5^-}f(x)=limlimits_{x o 5^-}3^x=3^5=243\ limlimits_{x o 5^+}f(x)=limlimits_{x o 5^+}sqrt{x+4}=sqrt{5+4}=sqrt{9}=3[/latex] Z powyższego wnioskujemy, że nie istnieje granica funkcji [latex]f[/latex] w punkcie [latex]x_0=5[/latex], ponieważ granice jednostronne są różne. Wobec tego w szczególności rozważana funkcja [latex]f[/latex] nie jest ciągła w punkcie [latex]x_0=5[/latex]. Z czego z kolei wnosimy, że rozważana funkcja [latex] f [/latex] nie jest ciągła.
Rozwiązanie w załączniku.
