Matematyka

zbadaj czy trójkąt o wierzchołkach: ( -2,-2), (-3,1), (7,1) jest prostokątny. Oblicz obwód i pole tego trójkąta.

Odpowiedź

ciacho673

Niech A(-2;-2) B(-1;1) C(7,1) [latex]|AB|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\\=sqrt{(-3+2)^2+(1+2)^2}=sqrt{1+9}=sqrt{10}\\|BC|=sqrt{(7+3)^2+(1-1)^2}=sqrt{100}=10\\|AC|=sqrt{(7+2)^2+(1+2)^2}=sqrt{81+9}=sqrt{90}[/latex] spr. czy trójkąt ABC jest prostokatny [latex]|AB|^2+|AC|^2=|AC|^2\\(sqrt{10})^2+(sqrt{90})^2=10^2\\10+90=100\\L=P[/latex] Jest trójkątem prostokatnym [latex]Ob.=sqrt{10}+sqrt{90}+10=sqrt{10}+sqrt{9*10}+10=\\=sqrt{10}+3sqrt{10}+10=4sqrt{10}+10=2(2sqrt{10}+5)(j)[/latex] [latex]P=frac{|AB|*|AC|}2}=frac{sqrt{10*90}}{2}=frac{sqrt{900}}{2}=frac{30}{2}=15(j^2)[/latex]

Klaudii123

1. Rysujemy dany trójkąt w układzie współrzędnych. A=(-2,-2) B=(-3,1) C=(7,1) 2. Zapisujemy warunek, że proste które tworzą przyprostokątne tego trójkąta muszą być do siebie prostopadłe. |AB| jest prostopadły do |AC| 3. Wyznaczamy równania funkcji liniowych przechodzących przez te punkty. Dla |AB|: Robimy to ze wzoru : ( [latex] (x_{2} - x_{1})(y- y_{1})=( y_{2}- y_{1})( x_{}- x_{1}) [/latex] [-3-(-2)][y-(-2)]=[1-(-2)][x-(-2)] -1(2+y)=3(x+2) -y-2=3x+6 -y=3x+8 y=-3x-8 Dla |AC| : Ten sam wzór : ( [latex] (x_{2} - x_{1})(y- y_{1})=( y_{2}- y_{1})( x_{}- x_{1}) [/latex] [7-(-2)][y-(-2)]=[1-(-2)][x-(-2)] 9(y+2)=3(x+2) 9y+18=3x+6 9y=3x-12 y=[latex] frac{3x-12}{9} [/latex] y=[latex] frac{3(x-4)}{9} [/latex] y=[latex] frac{x-4}{3} [/latex] y=[latex] frac{1}{3}x- frac{4}{3} [/latex] W tym momencie widzimy, że otrzymaliśmy dwie funkcje liniowe: y=-3x-8 y=[latex] frac{1}{3}x- frac{4}{3} [/latex] Zauważamy że współczynnik kierunkowy drugiej funkcji jest liczbą odwrotną i przeciwną do współczynnika kierunkowego pierwszej funkcji co dowodzi że są one do siebie prostopadłe czyli tworzą ze sobą kąt 90 stopni czyli trójkąt jest prostokątny. Aby obliczyć pole i obwód tego trójkąta musimy obliczyć długości odcinków przyprostokątnych, a następnie z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej. Długość odcinka |AB|: Obliczymy to ze wzoru : d=[latex] sqrt{ ( x_{b}- x_{a}) ^{2}+ ( y_{b}- y_{a}) ^{2} } [/latex] A=(-2,-2) B=(-3,1) d=[latex] sqrt{ ( x_{b}- x_{a}) ^{2}+ ( y_{b}- y_{a}) ^{2} } [/latex] d=[latex] sqrt{10} [/latex] ( tyle wyjdzie po podstawieniu) Długość odcinka |AC|: Obliczymy to ze wzoru : d=[latex] sqrt{ ( x_{b}- x_{a}) ^{2}+ ( y_{b}- y_{a}) ^{2} } [/latex] A=(-2,-2) C=(7,1) d=[latex] sqrt{ ( x_{b}- x_{a}) ^{2}+ ( y_{b}- y_{a}) ^{2} } [/latex] d=[latex]3 sqrt{10} [/latex] Teraz liczymy długość przeciwprostokątnej z Pitagorasa [latex] (sqrt{10}) ^{2} + (3 sqrt{10}) ^{2} = c^{2} [/latex] [latex]10+90= c^{2} [/latex] [latex] c^{2} =100[/latex] [latex]c=10[/latex] Obliczamy obwód: [latex] sqrt{10} +3 sqrt{10} +10=4 sqrt{10} +10[/latex] Obliczmy pole : [latex] frac{ sqrt{10}*3 sqrt{10} }{2} = frac{3*10}{2} = frac{30}{2} =15 j^{2} [/latex] Mam nadzieję że się nie pomyliłem w żadnym miejscu Liczę na najlepszą :)

Dodaj swoją odpowiedź

Matematyka