Zadanie numer 1 z załączonego zdjęcia, proszę jak najszybciej, przez 10 minut daje naj i dziękuję!!! 70 punktów!!!

[latex]\2b(2a-b) leq (2a-b)(2a+b) \ \(2a-b)(2a+b)-2b(2a-b) geq 0 \ \(2a-b)(2a+b-2b) geq 0 \ \(2a-b)(2a-b) geq 0 \ \(2a-b)^2 geq 0 \ \q.e.d. \ \b) \ \ sqrt{3} b(a- sqrt{3} b) leq a(a- sqrt{3} b) \ \a(a- sqrt{3} b)- sqrt{3} b(a- sqrt{3} b) geq 0 \ \ (a- sqrt{3} b)(a- sqrt{3} b) geq 0 \ \ (a- sqrt{3} b)^2 geq 0 \ \q.e.d.[/latex]

[latex]Zadanie , 1\ a)\[/latex] Ustalmy dowolne [latex]a,b in mathbb{R}.[/latex] Rozważmy nierówność: [latex]2b(2a-b)leq (2a-b)(2a+b)[/latex] Zauważmy, że możemy zapisać ją równoważnie w poniższy sposób: [latex](2a-b)(2a+b)-2b(2a-b) geq 0[/latex] Zauważmy wspólny czynnik występujący w obydwu iloczynach: [latex]underline{(2a-b)}(2a+b)-2bunderline{(2a-b)} geq 0[/latex] Wyłączamy ten wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy: [latex](2a-b)(2a+b-2b) geq 0[/latex] Upraszczając dostajemy: [latex](2a-b)(2a-b) geq 0[/latex] Upraszczając ponownie otrzymujemy: [latex](2a-b)^2 geq 0[/latex] Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną (większą lub równą 0), wobec czego ostatnia nierówność jest prawdziwa. Ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, to każda z zapisanych tutaj nierówności jest prawdziwa. W szczególności wyjściowa nierówność, która mieliśmy udowodnić. Ponadto z dowolności wyboru liczb [latex]a,b[/latex] otrzymujemy tezę, co kończy dowód. [latex]b)[/latex] Ustalmy dowolne [latex]a,b in mathbb{R}.[/latex] Rozważmy nierówność: [latex]sqrt{3}b(a-sqrt{3}b)leq a(a-sqrt{3}b)[/latex] Zauważmy, że możemy zapisać ją równoważnie w poniższy sposób: [latex]a(a-sqrt{3}b)-sqrt{3}b(a-sqrt{3}b) geq 0[/latex] Zauważmy wspólny czynnik występujący w obydwu iloczynach: [latex]aunderline{(a-sqrt{3}b)}-sqrt{3}bunderline{(a-sqrt{3}b)} geq 0[/latex] Wyłączamy ten wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy: [latex](a-sqrt{3}b)(a-sqrt{3}b) geq 0[/latex] Upraszczając otrzymujemy: [latex](a-sqrt{3}b)^2 geq 0[/latex] Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną (większą lub równą 0), wobec czego ostatnia nierówność jest prawdziwa. Ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, to każda z zapisanych tutaj nierówności jest prawdziwa. W szczególności wyjściowa nierówność, która mieliśmy udowodnić. Ponadto z dowolności wyboru liczb [latex]a,b[/latex] otrzymujemy tezę, co kończy dowód.