Logika w całości i to w przystępnym języku.

Kazimierz Pawłowski


ZARYS LOGIKI



I Wstęp
1. Ogólny charakter logiki jako nauki
2. Logika formalna .
II Syntaktyczna, semantyczna i pragmatyczna charakterystyka języka
1. Język i jego funkcje
2. Syntaktyczne reguły języka. Spójność syntaktyczna
3. Wyrażenia i ich znaczenia
4. Kategorie syntaktyczne wyrażeń
III Nazwa jako kategoria syntaktyczna
1. Nazwa i znaczenie nazwy
2. Desygnat nazwy, zakres nazwy, rodzaje nazw
3. Relacje semantyczne nazw
3.1. Jednoznaczność i wieloznaczność nazw
3.2. Sposoby użycia nazw
3.3. Nazwy ostre i nieostre, wyraźne i niewyraźne
4. Stosunki między zakresami nazw
IV Ważniejsze błędy w słownym przekazywaniu myśli
1. Błąd wieloznaczności wyrażeń
2. Ekwiwokacja
3. Amfibolia
4. Błąd wynikający posługiwania nazwami o niewyraźnym znaczeniu
5. Błąd niedopowiedzenia
V Zdanie logiczne jako kategoria syntaktyczna
1. Zdanie i sąd. Wartość logiczna zdania
2. Prawda logiczna
3. Zdania analityczne i syntetyczne
4.1. Zdania proste
4.2. Zdania złożone
VI Elementy teorii definicji
1. Zagadnienie definicji. Definicje nominalne i realne
2. Definicje nominalne
3. Budowa definicji
4. Podstawowe typy definicji
5. Warunki poprawności definicji wyrazów. Błędy w definiowaniu.
6. Definicje realne
VII Podział logiczny
VIII Rachunek zdań
1. Wiadomości wstępne
2. Związki logiczne między zdaniami
2.2. Związek logicznej sprzeczności zdań.
Zasada sprzeczności i zasada wyłączonego środka
2.3. Związek logicznej równoważności zdań
2.4. Związek logicznego wynikania zdań. Okres warunkowy
2.5. Wynikanie inferencyjne
2.6. Podstawowe prawa logiki zdań wynikające ze stosunku wynikania logicznego
2.7. Prawa wynikające ze stosunku wykluczania i dopełniania się zdań alternatywnych i dysjunktywnych
3. Prawa (tautologie) rachunku zdań. Metoda zerojedynkowa
4. Aksjomatyczna postać rachunku zdań.
Wybrane prawa rachunku zdań
IX Tradycyjna logika formalna. Rachunek nazw
1. Formy wnioskowania bezpośredniego
1.1. Klasyczne zdania kategoryczne
1.2. Kwadrat logiczny. Prawa kwadratu logicznego – związki logiczne między klasycznymi zdaniami kategorycznymi.
1.3. Konwersja zdań kategorycznych
1.4. Obwersja zdań kategorycznych
2. Formy wnioskowania pośredniego. Sylogistyka
2.1. Pojęcie i podstawowe formy sylogizmu
2.2. Warunki poprawności trybów sylogistycznych
2.4. Sprawdzanie trybów za pomocą diagramów Venna
2.5. Sylogizmy niedoskonałe
X Elementy rachunku kwantyfikatorów
1. Symbolika i podstawowe schematy rachunku kwantyfikatorów
2. Podstawowe tautologie rachunku kwantyfikatorów
XI Podstawy teorii zbiorów i teorii relacji
1. Podstawowe pojęcia i symbolika rachunku zbiorów
2. Stosunki między zbiorami
3. Działania na zbiorach
4. Prawa rachunku zbiorów
5. Algebra Boole’a zbiorów – aksjomatyczny system rachunku zbiorów
6. Podział zbiorów
7. Podstawy teorii relacji.
7.1. Podstawowe pojęcia teorii relacji
7.2. Rodzaje relacji
XII Wnioskowanie i warunki jego poprawności
1. Pojęcie wnioskowania.
Uznawanie i uzasadnianie twierdzeń.
2. Zasada racji dostatecznej
3. Wnioskowanie logiczne
4. Warunki poprawności wnioskowania logicznego
5. Wnioskowanie dedukcyjne
6. Wnioskowanie uprawdopodobniające
7. Wnioskowanie redukcyjne
8. Wnioskowanie indukcyjne
8.1. Indukcyjny proces badawczy. Pojęcie wnioskowania indukcyjnego
8.2. Indukcja matematyczna
8.3. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną
8.4. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną zupełną
9. Wnioskowanie przez analogię
10. Wnioskowanie statystyczne
11. Indukcja eliminacyjna. Kanony Milla.
11.1. Uwagi ogólne na temat indukcji eliminacyjnej i związku przyczynowego
11.2. Kanony Milla
12. Błędy w rozumowaniu
XIII Obserwowanie i wyjaśnianie zjawisk
1. Obserwacja
2. Hipoteza i teoria
XIV Przekonywanie jako szczególny rodzaj wnioskowania.
Rzetelne i nierzetelne sposoby argumentowania i prowadzenia sporów
Bibliografia

4. Kategorie syntaktyczne wyrażeń
Już wiemy, że wyrażeniami w logice mogą być pojedyncze nazwy, którymi są wyrazy z danego słownika, np. ze słownika języka polskiego, jak również całe zdania. Logik powie, że nazwy i zdania – to syntaktyczne kategorie wyrażeń. Oprócz tych dwóch kategorii, poznamy jeszcze inne kategorie wyrażeń, takie jak spójniki prawdziwościowe, a potem następne, jak zmienne indywiduowe, predykaty i kwantyfikatory.

III Nazwa jako kategoria syntaktyczna
1. Nazwa i znaczenie nazwy
Szczególnym przypadkiem wyrażeń są nazwy. Nazwy – to, ogólnie rzecz biorąc, wyrazy należące do słownika danego języka, które w zdaniu typu A jest B mogą pełnić funkcję podmiotu lub orzecznika. W zdaniu „Ziemia jest planetą” wyrazy „Ziemia” i „planeta” są nazwami. Już z tego przykładu widać, że nazwa może oznaczać jakiś konkretny, jednostkowy przedmiot, ale też może mieć charakter ogólny. W pierwszym przypadku mówimy o nazwie jednostkowej, w drugim – o nazwie ogólnej. W naszym zdaniu „Ziemia” – to nazwa jednostkowa, która oznacza konkretną planetę w układzie słonecznym. „Planeta” natomiast – to nazwa ogólna oznaczająca każde ciało niebieskie.
Znaczeń wyrazów uczymy się wraz z językiem, do którego te wyrazy należą. Znaczenie nazwy nazywa się pojęciem. Ustalić pojęcie jakiejś nazwy to tyle, co ustalić jej znaczenie. Np. ustalić pojęcie „zamku” (z podanego wyżej przykładu) to tyle, co ustalić znaczenie nazwy „zamek” (występującej w tym przykładzie). Inaczej mówiąc, „pojęcie” – to sposób rozumienia „nazwy”. Zwykle wyrazy „pojęcie” i „nazwa” bywają używane zamiennie. Niemniej musimy pamiętać, że pod „pojęciem” określonej nazwy rozumiemy w logice „znaczenie tej nazwy”.
Z własnego doświadczenia wiemy, że nazwy (jedno i wielowyrazowe) nie zawsze mają jasne znaczenie. Czasem trudno sprecyzować ich znaczenie. Mówimy wtedy, że są one niejasne. W logice powinniśmy unikać używania takich nazw.

2. Desygnat nazwy, zakres nazwy, rodzaje nazw
Przedmioty oznaczane przez nazwy nazywamy desygnatami tej nazwy (i zarazem desygnatami pojęcia). Mówimy, że dana nazwa oznacza jakiś konkretny przedmiot. Zamiast „oznacza” używamy czasem słowa „denotuje” w tym samym znaczeniu.
Zbiór wszystkich desygnatów danej nazwy nazywamy zakresem tej nazwy (pojęcia), np. zakresem nazwy „góra” są wszystkie góry. Zakresem nazwy (pojęcia) „miasto” są wszystkie miasta.
Czasem nazwa może być pusta, tzn. pozbawiona desygnatów, np. „szklana góra” – w rzeczywistości nie ma czegoś takiego, jak szklana góra. Nie bierzemy tu pod uwagę literatury pięknej (i świata baśni), gdzie tego typu wyrażenia moją swoje desygnaty literackie, wymyślone przez autorów.
Jak już wspomniano, nazwy bywają jednostkowe, tzn. oznaczają tylko jeden desygnat, albo ogólne – gdy oznaczają jednocześnie wiele desygnatów. Takimi jednostkowymi nazwami są imiona, państwa, rzeki i miasta. Nowy York jest tylko jeden. Jedna jest Wisła. Czasem nazwy miast powtarzają się w różnych językach, ale w takiej sytuacji nie możemy mówić o jednej nazwie, bo należą one do różnych języków. Jest np. Jelenia Góra na Dolnym Śląsku i Hirschberg pod Norymbergą. Najczęściej nazwy oznaczają wiele przedmiotów (innymi słowy: mają wiele desygnatów), czyli można powiedzieć, że mają charakter ogólny. Filozofowie nazwali je uniwersaliami. Ogólność nazwy możemy rozumieć w dwojakim znaczeniu: ekstensjonalnym (ekstensja: dosł. rozciągłość, tu: zakres) lub intensjonalnym (intensja: tu znaczenie). Ekstensją danej nazwy są wszystkie jej desygnaty, czyli wszystkie przedmioty, które ona oznacza, czyli jej zakres . Z kolei intensja nazwy wskazuje to, co jest wspólne wszystkim desygnatom tej nazwy, czyli – jak mówią filozofowie – to, co należy do ich istoty. Często wyrazy „intensja” i „pojęcie” bywają używane zamiennie. Częściej posługujemy się wyrazem „pojęcie”, choć nie zawsze jest ono jednoznaczne. W użyciu codziennym „pojęcie” może znaczyć też tyle, co „wiedza” (np. w zdaniu: „mieć o czymś jakieś pojęcie”), „pogląd” itp.
Oprócz nazw ogólnych i jednostkowych, mamy jeszcze nazwy zbiorowe i niezbiorowe. Desygnatami nazw zbiorowych są przedmioty zbiorowe, a nazw niezbiorowych – przedmioty pojedyncze (np. „klasa”, w sensie zbiór uczniów, i „uczeń” – jeden pojedynczy uczeń z tej klasy; podobnie „armia” i „żołnierz” ).
Oprócz wyżej wymienionych możemy wyróżnić jeszcze nazwy proste i złożone, przy czym kryterium podziału jest tu gramatyczna budowa tych nazw. Nazwy proste zbudowane są z jednego wyrazu, a nazwy złożone – z wielu.
Ponadto możemy podzielić nazwy na abstrakcyjne i konkretne, w zależności od tego, czy ich desygnatami są przedmioty konkretne, które możemy sobie jakoś wyobrazić, czy abstrakcyjne, takie jak cechy, relacje, stany rzeczy itp., których raczej nie jesteśmy w stanie sobie wyobrazić, chociaż można je pomyśleć.
Uściślimy jeszcze dwie wyżej użyte kategorie semantyczne, a mianowicie: „znaczy” i „oznacza”. Jeśli mówimy, że dana nazwa coś znaczy, to chcemy przez to powiedzieć, że ma ona jakieś znaczenie. Inaczej mówiąc, coś wyraża, niesie jakąś treść. Gdy zaś mówimy, że ta sama nazwa coś oznacza, to mamy na myśli to, że wskazuje ona jakiś przedmiot, czyli swój desygnat. Inaczej mówiąc nie jest ona pusta. Wyrazy „znaczy” i „oznacza” – to kategorie semantyczne. Odnoszą one daną nazwę do jej znaczenia lub desygnatu.

3. Relacje semantyczne nazw
3.1. Jednoznaczność i wieloznaczność nazw
Zajmiemy się teraz kwestią stosunków zachodzących między nazwami, ich znaczeniami i przedmiotami, które one oznaczają. Takie stosunki w logice nazywamy relacjami semantycznymi. Arystoteles rozróżnił dwa podstawowe typy relacji semantycznych: jednoznaczność i wieloznaczność. Nazwy są wtedy jednoznaczne, gdy oznaczają różne przedmioty jednostkowe w tym samym znaczeniu, np. w zdaniu „Jan, Józef i Barbara są ludźmi”. W tym zdaniu wyraz „ludzie” znaczy dokładnie to samo w odniesieniu do trzech wymienionych swoich desygnatów. Nazwy są wieloznaczne, gdy oznaczają różne przedmioty. Np. nazwa „pióro” może oznaczać pióro ptasie lub pióro do pisania. Arystoteles wyróżniał wieloznaczność przypadkową i zamierzoną. Z pierwszą mamy do czynienia, gdy dane słowo użyte jest przypadkowo w różnych znaczeniach. W drugim przypadku słowa jednakowe użyte zostały w znaczeniu analogicznym. Arystoteles mówi o dwóch rodzajach analogii: proporcji i proporcjonalności. Pierwsza występuje wtedy, gdy jedna nazwa użyta jest w odniesieniu do dwóch różnych przedmiotów, ale pozostających do siebie w określonym stosunku. W takim analogicznym znaczeniu użyty bywa wyraz „zdrowy”. Mówi się o zdrowym człowieku, ale też o zdrowym owocu. Owoc jest zdrowy, bo przyczynia się do zdrowia człowieka. Drugi typ analogii ma miejsce, gdy jedno pojęcie odnosi się do dwóch relacji. Dwa przedmioty oznacza się tą samą nazwą, ponieważ pozostają one w tym samym stosunku do innych przedmiotów. Według Arystotelesa, skrzydła tak się mają do ptaków, jak płetwy do ryb. Dlatego można je nazwać „członkami”. Innym rodzajem wieloznaczności jest metafora, inaczej – przenośnia. Najczęstszym rodzajem przenośni mamy do czynienia wtedy, gdy używamy jakiegoś wyrazu znaczeniu w innym, aniżeli to, które posiada on w języku dosłownym. Metaforyczne znaczenie danego wyrazu określa kontekst, w którym on się znajduje w zdaniu czy wyrażeniu. Np. wyraz „szczyt” posiada ustalone znaczenie dosłowne jako wierzchołek góry, ale bywa on często używany w znaczeniu metaforycznym w zwrotach typu „szczyt głupoty”, „szczyt formy sportowej”, „szczyt komunikacyjny” itd.

3.2. Sposoby użycia nazw
Nazwy mogą być użyte na różne sposoby. Te sposoby nazywane są supozycjami. W logice wyróżnia się cztery podstawowe supozycje: naturalną, przedmiotową, formalną i materialną.
Nazwa użyta jest w supozycji naturalnej, gdy wskazuje wszystkie swoje desygnaty. Np. w zdaniu „człowiek jest śmiertelny” nazwa „człowiek” oznacza każdego człowieka.
Nazwa użyta jest w supozycji przedmiotowej, gdy wskazuje tylko jeden konkretny przedmiot, tzn. jeden konkretny desygnat. Np. w zdaniu „zobaczyłem człowieka” nazwa „człowiek” odnosi się jakiegoś jednego człowieka (tego, którego wtedy ujrzałem).
Nazwa użyta jest w supozycji formalnej, gdy odnosi się do gatunku. Np. w zdaniu „człowiek jest ssakiem” wyraz „człowiek” jest nazwą gatunku, do którego należymy.
Nazwa jest użyta w supozycji materialnej, gdy odnosi się do samej siebie. Np. w zdaniu „wyraz „człowiek” jest rzeczownikiem rodzaju męskiego”. W takiej sytuacji nazwy użyte w supozycji materialnej bierze się najczęściej w cudzysłów.

3.3. Nazwy ostre i nieostre, wyraźne i niewyraźne
Nazwy bywają ostre i nieostre, mianowicie wtedy, gdy zgodnie z wszystkimi regułami znaczeniowymi, jest nam łatwo bądź trudno wskazać desygnaty tych nazw, czyli ich zakres. W praktyce logicznej powinniśmy unikać nazw nieostrych, czyli takich, których zakres trudno nam sprecyzować.
Bywa też, że trudno nam sprecyzować nie tylko zakres danej nazwy, lecz także jej znaczenie. Inaczej mówiąc, mamy kłopoty z precyzyjnym wyrażeniem treści językowej danej nazwy. Treść językowa nazwy – to zbiór cech, które przypisujemy desygnatom danej nazwy, gdy myślimy pojęcie odpowiadające tej nazwie. Treści językowe nazw, jak powiedziano, nie zawsze są wyraźne. Zdarza się, że nie wiemy, co naprawdę dana nazwa wyraża i nie potrafimy określić w sposób wyczerpujący i zarazem wystarczający cech, jakie ta nazwa przypisuje swoim przedmiotom. Mówimy w takiej sytuacji, że znaczenie tej nazwy (a tym samym pojęcie) jest niewyraźne. Skrótowo powiadamy, że dana nazwa jest niewyraźna. Nie trudno zauważyć, że nazwy wyraźne są zarazem ostre. Wynika to stąd, że mając wyraźnie określoną treść językową jakiejś nazwy, możemy łatwo wskazać jej desygnaty i określić jej zakres. Ale bywa tak, że nazwa jest wprawdzie ostra, ale nie jest wyraźna. Możemy stosunkowo łatwo wskazać jej desygnaty i podać jej cały zakres, czyli wszystkie desygnaty, a jednak nie potrafimy określić jednoznacznie jej treści językowej. Zazwyczaj tak się dzieje wtedy, gdy mamy do czynienia z tzw. nazwami intuicyjnymi. Zakresy tych nazw są ostre. Potrafimy bezbłędnie wskazać wszystkie przedmioty objęte tą nazwą, jednak nie potrafimy sprecyzować jednoznacznie jej treści. I tak na przykład z łatwością i na ogół bezbłędnie potrafimy wskazać różę, tzn. kwiat, któremu nadaje się nazwę „róża”, ale z określeniem językowej treści tej nazwy mielibyśmy nie lada problem. W życiu codziennym nam to wprawdzie nie przeszkadza, jednak w logice wypada się posługiwać nazwami wyraźnymi. Dlatego, żeby nazwy i pojęcia stały się wyraźne, należy je zdefiniować. Wcześniej trzeba zbadać desygnaty interesującego nas niewyraźnego pojęcia, by określić ich charakterystyczne cechy, które wyróżniają je od innych przedmiotów. Owe charakterystyczne cechy desygnatów czynimy treścią odpowiadającej im nazwy. W ten sposób treść nazwy (i sama nazwa) staje się wyraźna.

4. Stosunki między zakresami nazw
Między zakresami nazw mogą zachodzić rozmaite stosunki (nie uwzględniamy tu nazw pustych, tzn. nazw, których zakresy są zbiorami pustymi, czyli pozbawionymi desygnatów). Ograniczymy się do omówienia pięciu podstawowych stosunków:
równoważności,
podrzędności,
nadrzędności,
krzyżowania,
wykluczania.
Wymienione stosunki zakresów nazw w logice przyjęło się ilustrować graficznie za pomocą kół, które nazywają się kołami (albo diagramami) Eulera.

A. Stosunek równoważności
Dwie nazwy są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich zakresy całkowicie się
pokrywają, czyli są równe. Mówimy wtedy, że nazwy są zamienne. Desygnaty jednej nazwy są zarazem desygnatami drugiej. Nazwa S jest równoważna nazwie P, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy desygnat nazwy S jest jednocześnie desygnatem nazwy P. Obrazowo przedstawimy to sobie za pomocą dwóch kół, które przedstawiają zakresy nazw S i P:



Koło S i koło P pokrywają się ze sobą. Możemy powiedzieć w tej sytuacji, że każde S jest P.
Równoważne są np. nazwy „mieszkaniec Krakowa” i „mieszkaniec grodu Kraka”, a także same nazwy „Kraków” i „gród Kraka”.

B. Stosunek podrzędności
Nazwa S jest podrzędna względem nazwy P wtedy i tylko wtedy, gdy każdy desygnat nazwy S jest zarazem desygnatem nazwy P, ale nie każdy desygnat nazwy P jest desygnatem nazwy S. Ten stosunek zobrazujemy następująco:



Koło S, które przedstawia graficznie zbiór desygnatów nazwy S, znajduje się wewnątrz koła P, które przedstawia zbiór desygnatów nazwy P. Można powiedzieć, że każde S jest P, ale nie każde P jest S.
W stosunku podrzędności pozostaje nazwa „kot” względem nazwy „ssak”. Nazwa „kot” jest nazwą podrzędną względem nazwy „ssak”. Każdy kot jest ssakiem, ale nie każdy ssak jest kotem.


C. Stosunek nadrzędności
Nazwa S jest nadrzędna względem nazwy P wtedy i tylko wtedy, gdy nie każdy desygnat nazwy S jest desygnatem nazwy P, ale każdy desygnat nazwy P jest desygnatem nazwy S. Graficznie przedstawimy to następująco:






Stosunek nadrzędności jest odwróceniem stosunku podrzędności. Tym razem koło S (przedstawiające zbiór desygnatów nazwy S) zawiera w sobie koło P (przedstawiające zbiór desygnatów nazwy P). Możemy zatem powiedzieć, posługując się już zrozumiałym skrótem, że nie każde S jest P, ale każde P jest S.
W stosunku nadrzędności pozostaje np. zakres nazwy „miasto” względem zakresu nazwy „Warszawa”. Podobnie nazwa „człowiek” jest nadrzędna względem nazwy „student”.

D. Stosunek krzyżowania
Zakres nazwy S krzyżuje się z zakresem nazwy P wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją desygnaty nazwy S, które nie są desygnatami nazwy P, jednocześnie istnieją desygnaty nazwy S, które są zarazem desygnatami nazwy P, a do tego istnieją jeszcze desygnaty nazwy P, które nie są desygnatami nazwy S. Mówiąc językiem potocznym: część desygnatów nazw S i P pokrywa się ze sobą. Pokażemy to rysując dwa przecinające się koła:






Część wspólna tych kół oznacza wspólne desygnaty. Jako przykład nazw, których zakresy się krzyżują, możemy podać następujące nazwy: „studentka” i „blondynka”. Są studentki, które nie są blondynkami, są studentki, które są blondynkami, i są blondynki, które nie są studentkami.


E. Stosunek wykluczania
Dwie nazwy wykluczają się wtedy i tylko wtedy, gdy nie posiadają wspólnych desygnatów. Zakres nazwy S wyklucza się z zakresem nazwy P wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją desygnaty nazwy S, które nie są desygnatami nazwy P, istnieją desygnaty nazwy P, które nie są desygnatami nazwy S, i nie istnieją desygnaty nazwy S, które są desygnatami nazwy P. Stosunek wykluczania możemy zilustrować za pomocą dwóch oddzielnych kół, które nie mają wspólnych punktów, czyli nie dotykają się:




Przykładem nazw, których zakresy się wykluczających są: kot, wróbel, pies, stół, kwadrat. Żadna z tych nazw nie ma wspólnych desygnatów.

IV Ważniejsze błędy w słownym przekazywaniu myśli
W naszych wypowiedziach, słownych i tekstowych, pojawiają się częściej lub rzadziej różnorakie uchybienia, które mogą spowodować ich błędne zrozumienie przez słuchaczy czy czytelników. Wymienimy teraz najczęściej występujące błędy.

1. Błąd wieloznaczności wyrażeń
Błąd ten polega na używaniu wieloznacznych wyrażeń bez doprecyzowania ich znaczeń, gdy kontekst nie wskazuje, w jakim znaczeniu zostały one użyte w konkretnym tekście czy wypowiedzi słownej. W efekcie prowadzi to do niewłaściwego zrozumienia wspomnianego tekstu czy słownej wypowiedzi. Warunkiem właściwego zrozumienia myśli autora jest właściwe (zgodne z intencją autora) rozumienie wyrażeń i zbudowanych z nich zdań. By uniknąć błędu wynikającego z wieloznaczności wyrażeń, czasem wystarczy zwykłe dopowiedzenie, np. w zdaniu „kupiłem piękny zamek” zamiast zwykłego „zamek” powiemy „zamek obronny” lub „zamek błyskawiczny”, i wypowiedź stanie się zrozumiała nawet, jeśli nie znamy jej kontekstu. W innych przypadkach trzeba będzie jednak zdefiniować niejasne wyrażenie lub w inny sposób je wyjaśnić (np. przez zilustrować je na jakimś przykładzie – np. trójkąt czy inną figurę geometryczną możemy po prostu narysować lub opisać, odwołując się do wyobraźni słuchaczy).

2. Ekwiwokacja
Wieloznaczność wyrażeń prowadzi czasem do innego błędu, a mianowicie do błędu ekwiwokacji, czyli nierównego użycia tego samego wyrażenia w jednej wypowiedzi. Bywa mianowicie, że w dłuższej wypowiedzi używamy dwukrotnie tego samego brzmieniowo wyrażenia, ale za każdym razem w innym znaczeniu. Taki błąd nazywa się błędem ekwiwokacji. Przyjrzyjmy się następującej wypowiedzi: „Wiele lat spędziłem w Polsce. Polubiłem polskie potrawy. Zwłaszcza polska szynka jest dobra. Polska jest naprawdę wspaniała”. Co autor miał na myśli w ostatnim zdaniu swojej wypowiedzi – Polskę czy polską szynkę. Domyślamy się, że prawdopodobnie jednak polską szynkę, ale nie jesteśmy pewni. Wystarczyło powiedzieć „Polska szynka” zamiast „Polska” i zdanie byłoby zrozumiałe zgodnie z intencją autora.

3. Amfibolia
Nie zawsze użycie wyrażeń na pozór jednoznacznych zapewnia właściwe zrozumienie wypowiedzi. Bywa, że zdanie zbudowane jest z wyrażeń o ściśle określonym znaczeniu, jednak z racji swojej budowy, a przede wszystkim z powodu niejasnych relacji między wyrazami, nie jest ono jednoznaczne co do swej treści, choć gramatycznie jest poprawne. Np. zdanie „Wszyscy ludzie nie są szczęśliwi” może być dwojako rozumiane: 1) albo: „nikt z ludzi nie jest szczęśliwy”, 2) albo: „nie wszyscy ludzie są szczęśliwi, bo są także ludzie nieszczęśliwi”. Amfibolie czasem są zamierzone. W starożytności amfiboliami na ogół były orzeczenia wyroczni. Dzięki temu zawsze się spełniały. Krezus, bardzo bogaty król lidyjski, zamierzając uderzyć na Persję, udał się do Delf z pytaniem o rezultat zamierzonej przez siebie wyprawy wojennej. Otrzymał następującą odpowiedź: „gdy zaatakujesz Persję, zniszczysz wielkie państwo”. I rzeczywiście zniszczył wielkie państwo, tyle, że swoje. W ten sposób przepowiednia wyroczni delfickiej się spełniła. Amfibolie często pojawiają się w mowie potocznej za sprawą nieprecyzyjnego posługiwania się zaimkami (osobowymi, wskazującymi i względnymi) w sytuacji, gdy nie jest jasne, do czego one się odnoszą. Podobnie amfibolie powstają wskutek umieszczenia przeczenia „nie” w niewłaściwym miejscu w zdaniu.

4. Błąd wynikający posługiwania nazwami o niewyraźnym znaczeniu
Nasze wypowiedzi bywają niezrozumiałe z powodu używania nazw, których znaczenie nie jest wyraźne. Typowym przykładem takiej nazwy jest „młodzieniec”, „młody”, „starzec”, „stary” itp. Trudno określić dokładnie, kiedy kończy się wiek młody, a zaczyna stary. Z tego tytułu mogą wystąpić nieporozumienia, zwłaszcza jeśli tego typu wyrażenia pojawią się w tekstach oficjalnych. Dlatego wyrażenia niewyraźne powinno się zastępować, zwłaszcza w tekstach i wypowiedziach oficjalnych (chyba że mają one w zamierzeniu autora być niezrozumiałe) nazwami wyraźnymi, jeśli jest to możliwe. Tam, gdzie nie jest to możliwe, należy ustalić lub uregulować znaczenie terminów za pomocą definicji projektujących.

5. Błąd niedopowiedzenia
Powodem niezrozumienia wypowiedzi, bądź błędnego jej zrozumienia, może być niedopowiedzenie. Występuje ono wtedy, gdy autor nie dokończy swojej myśli, pozostawiając słuchacza czy czytelnika z domysłami, które mogą być różne. Czasem autor liczy po prostu na inteligencję czytelnika. W tekstach literackich niedopowiedzenia są uzasadnione. Jednak w tekstach i wypowiedziach oficjalnych, np. prawniczych, niedopowiedzenia nie powinny mieć miejsca.
Powyższy wybór nie wyczerpuje zagadnienia błędów w słownym przekazywaniu myśli. Inne zostaną przedstawione w miejscu poświęconym błędom w rozumowaniu.

V Zdanie logiczne jako kategoria syntaktyczna

1. Zdanie i sąd. Wartość logiczna zdania
Ludzie za zwyczaj wyrażają swoje myśli za pomocą zdań. W mowie potocznej, codziennej posługujemy się różnymi rodzajami zdań: oznajmującymi, pytającymi, rozkazującymi itd. W logice posługujemy się wyłącznie zdaniami oznajmującymi, czyli przekazującymi jakąś informację, co do której można powiedzieć, że jest prawdziwa bądź fałszywa. Zdaniami w sensie logicznym są tylko zdania oznajmujące. Zdanie oznajmujące – to wyrażenie, które jest prawdziwe bądź fałszywe. Zdaniami w sensie logicznym są np. zdania: „Ziemia jest planetą”, „człowiek jest ssakiem”. Są nimi również zdania złożone z dwóch lub więcej liczby zdań prostych, np.: „Jeśli każdy człowiek jest rozumny, to Jan Kowalski jest rozumny”. Każdemu z tych zdań możemy przypisać prawdę lub fałsz, a to jest cechą nieodzowną zdań logicznych. Znaczenie zdania nazywamy sądem. Inaczej mówiąc, sąd – to sposób rozumienia danego zdania. Trzeba tu dodać, że inną kwestią jest samo rozumienie jakiego zdania, a inną – uznanie za prawdę tego, co ono głosi. Rozumiemy np. zdanie „dwa dodać dwa jest pięć”, ale przecież na ogół nie przyjmujemy za prawdę wyrażanej przez nie treści.
Zdanie logiczne występuje przeważnie pod postacią wyrażeń złożonych z dwóch lub większej liczby wyrazów, chociaż trafiają się zdania jednowyrazowe, np.: „dnieje”, „grzmi”. Wyrazy i wyrażenia wchodzące w skład zdania można ułożyć w grupy zależnie od ich roli składniowej w tych zdaniach. W zdaniu „każdy pies jest ssakiem” oraz „każdy kot jest ssakiem” wyrazy „pies”, „kot” i „ssak” pełnią tę samą rolę, a mianowicie rolę nazw. Mówimy, że należą one do tej samej kategorii syntaktycznej – do nazw. Wiemy już, że nazwy mogą być jedno- i wielowyrazowe. Inne wyrazy należą do innych kategorii syntaktycznych. W powyższych zdaniach wyraz „jest” nie jest nazwą. Jego rola polega na tym, że w połączeniu z nazwami „pies”, „kot” i „ssak” tworzy zdanie. Dlatego nazywa się ten wyraz (i inne wyrazy spełniające tę samą funkcję w zdaniu) funktorem zdaniotwórczym. Takim samym funktorem zdaniotwórczym jest np. wyraz „pada” w zdaniu „deszcze pada”. Zauważamy, że funktor zdaniotwórczy „jest” tworzy zdanie od dwóch nazw, dlatego nazywamy go „funktorem zdaniotwórczym od dwóch nazw”. Natomiast funktor „pada” jest funktorem zdaniotwórczym od jednej nazwy, bo tworzy zdanie od jednej nazwy. Oprócz funktorów zdaniotwórczych od nazw, są jeszcze funktory zdaniotwórcze od zdań, które tworzą zdania (złożone) nie z nazw, lecz ze zdań (prostych). W jednym z wyżej podanych zdań wystąpił już jeden z takich funktorów, a mianowicie „jeżeli..., to”. Niebawem poznamy inne funktory. W logice formalnej te i pozostały funktory zdaniotwórcze otrzymały postać symboli.
W podanych zdaniach wystąpiło jeszcze słówko „każdy”. Nie trudno zauważyć, że słówko „każdy” kwantyfikuje psy i koty, czyli w pewien sposób ustala ich liczbę. Dlatego tę kategorię, do której należy ten wyraz („każdy”) nazywamy właśnie kategorią kwantyfikatorów. Do tej samej kategorii należą także słowa takie, jak „niektóre”, „żaden” itp.. W logice formalnej również kwantyfikatory, podobnie jak funktory zdaniotwórcze, uzyskają formę symboliczną. Wyrażenia słowne zostaną zastąpione stosownymi znakami.

2. Prawda logiczna
W logice w odniesieniu do zdań najistotniejsze jest to, że wyrażą one prawdę bądź fałsz. Możemy zatem powiedzieć, że zdaniem logicznym jest wyrażenie prawdziwe bądź fałszywe. Prawda i fałsz – to dwie wartości logiczne. W klasycznej logice operujemy tymi dwiema wartościami logicznymi. Istnieją wprawdzie jeszcze logiki trój- i wielo-wartościowe. Tymi jednakowoż w naszym kursie logiki nie będziemy się zajmować.
Podstawowym problemem w logice dwuwartościowej pozostaje kwestia ustalenia, czy zdanie jest prawdziwe, tzn. czy głosi prawdę. W codziennych sytuacjach za prawdziwe zdania uznajemy te, które głoszą treści zgodne ze stanem faktycznym, który odnajdujemy w rzeczywistości. Podobnie przyjmuje się w logice klasycznej. Powiada tu się mianowicie, że zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy informacja, którą to zdanie podaje, zgodna jest z tym, co jest w rzeczywistości. Jest to współczesna postać klasycznej definicji prawdy. Fałszywe z kolei jest zdanie wtedy i tylko wtedy, gdy w rzeczywistości nie jest tak, jak to zdanie głosi.
Najbardziej znane sformułowanie klasycznej definicji prawdy pochodzi od chrześcijańskiego filozofa z XIII wieku, św. Tomasza z Akwinu i brzmi następująco: „prawda jest to zgodność rzeczy z rozumem” („veritas est adequatio rei et intellectus”).
W klasycznej definicji prawdy (w obu sformułowaniach, współczesnej i Tomaszowej) chodzi o zgodność bytu i myśli, rzeczywistości i języka, faktu i sądu. Gdy mówimy o prawdziwości zdania, właśnie tę zgodność mamy na myśli. W klasycznym rozumieniu prawdy logicznej występują dwie strony, które muszą się ze sobą zgadzać:
1) roszczenia do prawdziwości, jakie mamy, kiedy o sądzie „p” mówimy: „p” jest prawdziwe;
2) stan faktyczny samej rzeczy – zdanie „p” jest tylko wtedy prawdziwe, gdy rzecz ma się istotnie tak, jak ujmuje to zdanie „p”.
Pierwszy punkt sugeruje, że nasze roszczenia do prawdziwości zdania „p” muszą być uzasadnione, tzn. zdanie „p” musi być odpowiednio uargumentowane. W przeciwnym wypadku to zdanie zostanie uznane za sąd dowolny, który nie może rościć sobie pretensji do prawdziwości. Możemy powiedzieć, że prawda pozostaje zawsze w językowym układzie odniesienia – zdanie „p” wypowiedziane jest w jakimś języku i w tymże języku jest uzasadniane. Tylko w języku daje się uzasadnić roszczenie do prawdziwości. Podobnie jak nie ma „bez-językowych” znaczeń samych w sobie, tak też nie ma gołej, „bez-językowej” prawdy.
Formuła zgodności – „prawda jest to zgodność rzeczy z rozumem” – sugeruje, że element językowy (sąd) i niejęzykowy (sama rzecz, o której wypowiada się sąd) można wzajemnie porównać. Pytanie: z jakiej perspektywy? Przecież nasza myśl nie może przyjąć punktu widzenia z poza sfery językowej. Myśl funkcjonuje zawsze w kontekście językowym. Człowiek myśli zawsze pojęciami, a nie – rzeczami. Myśl jako taka nie jest tożsama z rzeczą. Myślenie o rzeczy i bycie rzeczą – to, jeśli tak można powiedzieć, dwa różne stany aktywności. Jeden jest intelektualną aktywnością ludzkiego umysłu. Drugi jest bytową aktywnością istniejącej rzeczy. Należy w tym miejscu zauważyć jeszcze jedno. Otóż w tzw. rzeczywistości empirycznej procesy przebiegają od przyczyny do skutku. Procesy myślowe natomiast, tzn. te, które przebiegają w naszej głowie i w których staramy się uchwycić procesy empiryczne, biegną na ogół odwrotnie, tzn. od skutku do przyczyny (znając skutek, szukujemy jego przyczyny). Oczywiście bywa, że uczeni budują teorie naukowe, w których wybiegają w przyszłość, starając się na przykład przewidzieć racjonalnie skutki wcześniejszych zdarzeń. W ten sposób przewidują na przykład, co i jak będzie się działo w gospodarce (czy w przyrodzie) w związku z pewnymi zaistniałymi faktami gospodarczymi (czy przyrodniczymi). Jednakowoż mogą stawiać tego rodzaju prognozy na podstawie uprzedniej znajomości reguł, według których przebiegają interesujące ich procesy. Te reguły ustalono analizując owe procesy, dociekając przyczyn, które wywołały znane skutki.
Nie trudno zauważyć, że klasyczna formuła prawdy logicznej (zarówno w formie nadanej jej przez św. Tomasza, jak i w postaci uwspółcześnionej) nie zawsze jest łatwo weryfikowalna. Z tego powodu niektórzy filozofowie zaproponowali inne koncepcje prawdy. Jedną z najbardziej znanych była koherencyjna teoria prawdy, która definiuje prawdę jako zgodność myśli z samą sobą, a ściślej – zgodność z innymi, wcześniej uznanymi za prawdziwe, zdaniami. Przeciwnicy tej koncepcji zarzucają jej zwolennikom, że zgodność myśli, czyli zdań, między sobą nie może być kryterium prawdziwości tychże myśli (zdań), bo w ten sposób należałoby uznać za prawdziwe również zdania z bajek i mitów, które wszak nijak mają się do rzeczywistości. Ten zarzut zwolennicy teorii koherencyjnej odpierają, powiadając, że chodzi im wyłącznie o zgodność ze zdaniami potwierdzonymi przez doświadczenie. Innymi słowy mówiąc kryterium prawdziwości konkretnych zdań są, według tej teorii, zdania, których prawdziwość została wcześniej potwierdzona doświadczalnie. Zdania wyprowadzone z takich zdań muszą być, ich zdaniem, również prawdziwe. Skądinąd wiemy, że tego typu zdaniami występują najczęściej w teoriach dotyczących nauk przyrodniczych, a więc eksperymentalnych, w których z pewnych tez ustalonych eksperymentalnie wyprowadza się dalsze wnioski, które dalej funkcjonują już jako tezy naukowe. Z nich znowu mogą być wyprowadzone inne tezy (lub do nich sprowadzone).
Dużym wzięciem w przeszłości cieszyła się również pragmatyczna koncepcja prawdy, która utożsamiała prawdziwość jakiegoś twierdzenia z jego użytecznością. U podłoża pragmatycznej teorii prawdy leży przeświadczenie, że ludzka myśl i przekonania mają ścisły związek z praktycznym działaniem. Mają być one mianowicie, zgodnie z tym przeświadczeniem, nastawione na działanie, a ściślej – na działanie skuteczne. W związku z tym mówiono, że prawdziwe są te przeświadczenia czy przekonania, które wykorzystane w praktyce przyczyniają się do osiągnięcia sukcesu. Fałszywe natomiast – te, które w zastosowaniu nie przyczyniają się do sukcesu. Nie trudno zauważyć, że ta teoria może być (i bywa) bardzo zwodnicza, gdyż sukces na krótką metę może w dalszym etapie obrócić się w porażkę. Tak bywa nader często na polu ekonomii i gospodarki. Poza tym ta teoria, wykorzystana w polityce, może przynieść skutki katastrofalne dla wielu ludzi i całej ludzkości. Pamiętamy, że teorie faszystowskie, wcielone w życie w hitlerowskich Niemczech, na pewnym etapie przyczyniły się do sukcesu gospodarczego i politycznego Niemców, ale jednocześnie przyniosły zagładę milionom innych nacji. Podobnie rzecz miała się z teoriami komunistycznymi, które również przyniosły „sukces” polityczny i osobisty wielu ludziom (np. Leninowi i Stalinowi), ale milionom innych przyniosły śmierć i nędzę.
Dla potrzeb logiki będziemy trzymać się klasycznej definicji prawdy. Wypada w tym miejscu dodać, że w logice nie chodzi o tzw. prawdę psychologiczną, tzn. o przeświadczenia, który żywi człowiek w związku z wyrażanymi przezeń zdaniami, a wyłącznie o prawdę logiczną, czyli prawdę wyrażaną przez samą treść tych zdań, w ich w odniesieniu do rzeczywistości. Np. prawdziwość zdania „złoty jest silniejszy od dolara”, czy „Polska przeżywa okres gospodarczej pomyślności” nie zależy, przynajmniej według logików (i w ogóle – filozofów) od psychicznego nastawienia (i tzw. pobożnych życzeń) tego czy innego polityka czy ekonomisty, wygłaszającego owe zdania, lecz od stanu faktycznego polskiej gospodarki.

3. Zdania analityczne i syntetyczne
Specjalną kategorię zdań stanowią zdania analityczne. O prawdziwości tych zdań nie decyduje ich zgodność ze stanem faktycznym, lecz ich wewnętrzna budowa i znaczenie użytych w nich wyrażeń. Analitycznym jest np. zdanie: „kawaler jest to mężczyzna nieżonaty”. Prawdziwość tego zdania wynika z analizy użytych w nim wyrażeń. Na tej samej zasadzie można stwierdzić fałszywość zdania, np. „trójkąt jest figurą sześciokątną”. Takie zdanie, jak to ostatnie, jest wewnętrznie sprzeczne. Jego fałszywość stwierdzamy na mocy znaczenia użytych w nim wyrażeń, w tym przypadku „trójkąt” i „figura sześciokątna”.
Zdania analityczne nie wymagają weryfikacji w rzeczywistości doświadczalnej. O ich prawdziwości decyduje niejako ich struktura syntaktyczna i znaczenie występujących w nim wyrażeń. Wymaga takiej weryfikacji, czyli potwierdzenia, inny typ zdań, a mianowicie tzw. zdania syntetyczne. Są to zdania, które wypowiadają się o konkretnych stanach i zdarzeniach rzeczywistych. Do takich zdań należą np. zdania następujące: „Warszawa jest stolicą Polski”, „Neapol jest stolicą Czech”, „Franciszek Józef był cesarzem monarchii Austro-Węgierskiej” itd. Widzimy, że prawdziwości informacji podawanych przez zdania syntetyczne nie możemy stwierdzić w oparciu o analizę wyrażeń, z których zbudowane są te zdania. Ze znaczenia wyrazu „Warszawa” nie wynika, że jest to stolica Polski. By stwierdzić prawdziwość zdań syntetycznych, trzeba odwołać się do rzeczywistości, o której one mówią. Zauważmy jeszcze jedną cechę zdań syntetycznych, której nie posiadają zdania analityczne. Otóż zdania syntetyczne wnoszą coś nowego do naszej wiedzy, tzn. podają informacje, których nie można wysnuć z analizy znaczenia wyrażeń występujących w tych zdaniach.

4. Zdania proste i złożone
4.1. Zdania proste
Zdaniem prostym jest każde zdanie jednowyrazowe (np. „dnieje”, „grzmi”) i każde zdanie wielowyrazowe, którego elementami nie są zdania. Szczególne znaczenie mają tzw. zdania kategoryczne. Należą do nich takie zdania, jak: „Ziemia jest planetą”, „Słońce świeci”, „Słońce przyciąga Ziemię”, „Niektóre ptaki nie latają”, „Każdy metal jest pierwiastkiem chemicznym”, „Żaden koziorożec nie fruwa”. Wspólną cechą tych zdań (to jest zdań kategorycznych) jest to, że dadzą się one rozłożyć na części, z których jedna jest funktorem zdaniotwórczym od nazw, a pozostałe części są nazwami. W klasycznej logice formalnej wyróżniało się pewne postacie zdań kategorycznych, które nazywa się „klasycznymi zdaniami kategorycznymi”. Są to zdania, które dają się zapisać w następujących postaciach:
1. „Każde S jest P”,
2. „Żadne S nie jest P”,
3. „Niektóre S są P”,
4. „Niektóre S nie są P”.
Podane zdania otrzymały odpowiednio następujące nazwy:
1. Zdania ogólno-twierdzące,
2. Zdania ogólno-przeczące,
3. Zdania szczegółowo-twierdzące,
4. Zdania szczegółowo-przeczące.
Do zdań kategorycznych jeszcze powrócimy. Teraz przejdziemy do zdań złożonych.

4.2. Zdania złożone
Zdania złożone zbudowane są z dwóch lub większej ilości zdań i łączących je funktorów. Niżej przedstawimy podstawowe postaci zdań złożonych. Występujące w tych postaciach litery „p” oraz „q” zastępują zdania proste.

1) Koniunkcja – p i q (czytamy: „p i q”)
Przykładem takiego zdania koniunkcyjnego (w skrócie: koniunkcji) jest: „pada deszcz i świeci słońce”. Koniunkcja powstaje przez połączenie zdań prostych spójnikiem „i”. W logice zamiast „i” używamy często znaku „”, który czytamy jako „i”. Koniunkcję zatem zapiszemy następująco:
p q
Wartość logiczna koniunkcji wiąże się z wartością logiczną tworzących ją zdań. Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. W pozostałych przypadkach koniunkcja jest fałszywa. Zwykle przedstawia to się w postaci następującej:
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Cyfry 1 i 0 oznaczają tu odpowiednio: 1 - zdanie prawdziwe, 0 – zdanie fałszywe. Zastosowany tu system oznaczania zdań za pomocą cyfr 1 i 0 nazywa się metodą zerojedynkową. 1 zawsze będzie oznaczało prawdę, a 0 – fałsz.

2) Alternatywa – p lub q (czytamy: „p lub q”)
Przykładem zdania alternatywnego jest zdanie: „pojadę autobusem lub pójdę pieszo”.
Alternatywa powstaje przez połączenie zdań spójnikiem „lub”. Oznacza się go symbolem „” (czytamy „lub”). Alternatywę zapisuje się następująco:
p q
Alternatywa jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno z tworzących ją zdań, p lub q, jest prawdziwe:
p q p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

3) Implikacja – jeżeli p to q
Implikacja, czyli wynikanie, powstaje przez połączenie dwóch zdań prostych za pomocą spójnika „jeżeli..., to”. Spójnik implikacji oznaczamy w logice symbolem „®”. Implikację przedstawia się następująco:
p ® q
Przykładem implikacji jest zdanie: „jeżeli obniżymy płace, to spadnie konsumpcja”, ale również zdanie: „jeżeli Kraków jest stolicą Polski, to Franciszek Józef jest cesarzem”. Zauważmy, że człony implikacji nie muszą tworzyć ze sobą związku przyczynowego, choć mogą. W logice interesuje nas wyłącznie formalne połączenie zdań w implikację, a nie związek stanów faktycznych (o których mowa jest w tych zdaniach). W naszych przykładowych zdaniach spadek konsumpcji bywa rzeczywiście efektem obniżki płac, ale to, że Franciszek Józef był cesarzem, nie miało żadnego związku z tym, czy Kraków jest czy nie jest stolicą Polski. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Obrazuje to się następująco:
p q p ® q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

4) Równoważność – p wtedy i tylko wtedy gdy q
Równoważność powstaje, gdy połączy się zdania proste spójnikiem „wtedy i tylko wtedy, gdy”. W logice zastępuje go symbol „” (czytany „wtedy i tylko wtedy, gdy). Równoważność zapisuje się następująco:
p q
Przykładem równoważność jest zdanie: „Jutro jest niedziela wtedy i tylko wtedy, gdy dziś jest sobota”. Równoważność wyraża warunek konieczny i wystarczający. Równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną, czyli wtedy, gdy oba są prawdziwe lub oba są fałszywe:
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

5) Dysjunkcja – p albo q (w sensie: jedno z dwojga, p albo q)
Spójnik dysjunkcji „albo” oznaczamy symbolem „ ”. Zdanie dysjunktywne zapiszemy następująco:
p q
Przykładem dysjunkcji jest zdanie: „Jedno z dwojga albo Kowalski jest kawalerem albo Kowalski jest żonaty”. Dysjunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej członów (zdań prostych) jest fałszywy:
p q p q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1

Zdanie dysjunktywne jest prawdziwe zatem również wtedy, gdy oba zdania, które go tworzą są fałszywe.
Z przedstawionych wyżej zdań złożonych koniunkcyjnych, alternatywnych, implikacyjnych, równoważnościowych i dysjunktywnych można tworzyć zdania jeszcze bardziej od nich złożone.

VI Elementy teorii definicji

1. Zagadnienie definicji. Definicje nominalne i realne
Wyraz „definicja” bywa używany w co najmniej dwóch różnych kontekstach znaczeniowych. Można mianowicie mówić o definicjach wyrazów (np. o definicji wyrazu „administracja”, „ekonomia”, „filozofia”, „logika” itd.), albo o definicjach przedmiotów realnych. W tych różnych kontekstach termin „definicja” ma różne znaczenie. W przypadku definiowania wyrazów chcemy ustalić ich znaczenie, zwykle w oparciu o słownik. Natomiast w przypadku definiowania przedmiotów realnych chcemy uchwycić ich charakterystyczne cechy, które jednoznacznie je określają, czyli, jak dawniej mówiono, ich istotę. W logice przyjęło się definicje wyrazów nazywać definicjami nominalnymi, a definicje przedmiotów definicjami realnymi. Mamy zatem dwa podstawowe rodzaje definicji: definicje nominalne i definicje realne. Często jednak definicje nominalne są jednocześnie definicjami realnymi. Wyjaśniając pojęcie, tzn. znaczenie danego wyrazu, charakteryzują zarazem jednoznacznie sam przedmiot oznaczany przez ten wyraz.

2. Definicje nominalne
Definicje nominalne podają znaczenie danego wyrazu. Najczęściej posługujemy się nimi wtedy, gdy chcemy podać komuś znaczenie jakiego niezrozumiałego przezeń wyrazu, lub po raz pierwszy przez nas wprowadzonego. Taką definicją jest np. zdanie: „filozofia” – to tyle, co „miłość mądrości”. To samo wyrazimy, powiadając: pojęcie „filozofia” znaczy tyle, co „miłość mądrości”. Podobnie: wyraz „milimetr” – „jedna tysięczna część metra”. To samo możemy wypowiedzieć następująco: „milimetr” jest to „jedna tysięczna część metra”; albo jeszcze inaczej: „milimetr” to tyle, co „jedna tysięczna część metra”. Wzięcie w cudzysłów wyrażeń „filozofia”, „miłość mądrości”, „milimetr” i „jedna tysięczna część metra” sygnalizuje, że mamy na myśli wyrazy a nie przedmioty oznaczane przez te wyrazy, czyli wprowadza nas w świat definicji nominalnych. Użyliśmy tu wyrazów w supozycji materialnej. Mówimy o takich definicjach, że są one zapisane w stylizacji słownikowej. Te same definicje bez cudzysłowów moglibyśmy uznać jednak za definicje przedmiotowe, czyli za definicje przedmiotów realnych. W naszym przykładzie – milimetr (realny) to jedna tysięczna metra (realnego). Wyrażenia, zarówno w członie definiowanym, jak i w członie definiującym, użyte są tu w supozycji naturalnej (tzn. wskazują na określony przedmiot). O takiej definicji powiadamy, że jest zapisana w stylizacji przedmiotowej (bo oba człony definicji oznaczają jakiś konkretny przedmiot). Definicje zapisane w stylizacji przedmiotowej mówią o rzeczywistych przedmiotach symbolizowanych przez użyte wyrazy, a nie o samych wyrazach. Inaczej mówiąc, nie wyłuszczają one znaczenia jakiegoś wyrazu, lecz charakteryzują sam przedmiot oznaczany przez ten wyraz.

3. Budowa definicji
Przyjrzyjmy się teraz samej budowie zdania, które jest definicją. Nie trudno zauważyć, że definicja składa się z dwóch zasadniczych członów, definiowanego (łac. definiendum) i definiującego (łac. definiens). Oba człony połączone są spójnikiem zwanym definicyjnym, którym może być zwrot „jest to”, „to, tyle co”, „znaczy” itp. W podanych wyżej przykładach definicji milimetra, Członem definiowanym jest wyrażenie „milimetr”, a członem definiującym „jedna tysięczna część metra”. Spójnikami definiującymi w tych naszych przykładowych definicjach są wyrażenia „jest to”, „znaczy tyle, co” oraz to tyle, co”.

4. Podstawowe typy definicji

4.1. Definicje wyraźne i kontekstowe
W naszych definicjach w członie definiowanym występuje tylko wyraz definiowany (np. „milimetr”). Taką definicję, której człon definiowany zbudowany jest z jednego wyrazu, nazywamy definicją wyraźną (bo ma wyraźnie określony człon definiowany). Gdy w członie definiowanym mamy, oprócz wyrazu definiowanego, jeszcze inne wyrazy, to tak zbudowaną definicję nazywamy definicją kontekstową. Definicją kontekstową jest np. zdanie: „logarytm dziesiętny liczby a jest to liczba b, do której podniesiona liczba dziesięć daje liczbę a”.

4.2. Definicje sprawozdawcze i projektujące
Duża grupa wyrazów, którymi posługujemy się zarówno w mowie potocznej, jak i w nauce, posiada utrwalone znaczenie zwyczajowe. Nikt nie ustalał w sposób arbitralny znaczenia tych wyrazów (np. pies, kot, człowiek itd.). Są one elementem słownika języka, którym mówimy. Ich znaczenie i sposób, a jaki nimi się posługujemy w praktyce językowej, zostały utrwalone na zasadzie zwyczaju. Bardzo często używamy takich wyrazów także w praktyce definiowania wyrazów (i wyrażeń). Definicje, które zbudowane są z wyrazów o znaczeniu zwyczajowym (znaczeniu ustalonym zwyczajowo), nazywamy definicjami sprawozdawczymi. Korzystamy z takich definicji najczęściej wtedy, gdy chcemy komuś wyjaśnić znaczenie jakiegoś terminu, którego ten jeszcze nie rozumie. Zazwyczaj uciekamy się wtedy do analizy słownikowej danego wyrazu (czyli zaglądamy do słownika i podajemy równoważnik słowny tego wyrazu) lub etymologicznej (tzn. podajemy jego etymologiczne znaczenie, analizując budowę wyrazu). Bywa też, że stosujemy obie metody jednocześnie. Chcąc np. podać znacznie wyrazu „filozofia”, podajemy jego etymologiczne znaczenie a zarazem słownikowe, korzystając (w tym konkretnym przypadku) ze słownika greckiego. Z tego słownika dowiadujemy się, że nasz wyraz „filozofia” zbudowany jest dwóch greckich słów, „filija” i „sofija”, z których jeden znaczy tyle, co „miłość”, a drugi znaczy „mądrość”. Razem otrzymujemy „miłość mądrości”. Kiedy indziej wyjaśnimy etymologicznie znaczenie wyrazu „samochód” – jako coś, co „samo chodzi”. Istotne w tych definicjach jest to, że posługujemy się w nich wyrazami w znaczeniu takim, jakie one już mają w utrwalonej zwyczajowo praktyce językowej. Nie podajemy w tych definicjach nowych znaczeń, lecz sięgamy do znaczeń już utrwalonych w danym języku. Oprócz metody słownikowej i etymologicznej, do wyjaśnienia znaczenia jakiegoś wyrazu możemy skorzystać jeszcze z innych metod, np. z metody filologicznej, tzn. sięgamy do literatury, by ustalić, w jakim znaczeniu używają tego konkretnego terminu pisarze i w jakich kontekstach. Do tej ostatniej metody uciekamy się np. wtedy, gdy chcemy poznać czy uściślić znaczenie wieloznacznych wyrazów łacińskich i greckich, które przez różnych antycznych autorów i w różnych kontekstach bywały używane w różnych znaczeniach. Zauważmy jeszcze, że istotną czynnością przy definiowaniu za pomocą definicji sprawozdawczych jest analizowanie (słownikowe, etymologiczne, filologiczne) znaczenia definiowanych wyrazów lub elementów, z których one są zbudowane. Dlatego takie definicje nazywamy także definicjami analitycznymi. Termin „definicje sprawozdawcze” wziął się stąd, że te definicje niejako zdają sprawozdanie ze znaczenia określonych wyrazów czy wyrażeń. Nie ustanawiają one nowych znaczeń, a jedynie podają znaczenie utrwalone zwyczajowo. Definicje sprawozdawcze mogą być podane zarówno w stylizacji słownikowej, jak i przedmiotowej. W pierwszym przypadku ukazują znaczenie wyrazu, a w drugim definiują przedmiot.
Definicje projektujące – to definicje, które projektują, czyli ustalają, znaczenie danego wyrazu czy wyrażenia, np. na użytek jakiejś dyscypliny naukowej, ewentualnie jakiejś teorii naukowej czy tylko jakiegoś tekstu. Za pomocą tych definicji możemy arbitralnie ustalić znaczenie jakiegoś nowego wyrazu, który wprowadzamy do nauki, albo uregulować znaczenie wyrazu znanego i używanego w praktyce codziennej, ale w innym znaczeniu. W ten sposób znalazło się w nauce wiele nowych terminów, np. „pierwiastek”, „kwas”, „zasada”, „sól” itd. W zależności od tego, czy nasze definicje projektujące ustanawiają jakieś nowe pojęcia, czy tylko regulują znaczenie starych wyrazów, mówimy o definicjach ustanawiających (domyślnie: ustanawiających znaczenie nowych terminów) i regulujących (domyślnie: regulujących znaczenie starych terminów). W ten sposób np. wprowadzono do nauki wyraz „metr”, ustanawiając, że „długość równą jednej dziesięciomilionowej części ćwiartki południka ziemskiego” będzie się odtąd nazywać „metrem”. Tak właśnie brzmi definicja (projektująca) jednego metra. Podobnie „zaprojektowano” wiele innych terminów naukowych, nowych i dotąd nieznanych. Czasem posługiwano się znanymi słowami, ale nadawano im zupełnie nowe znaczenie. W chemii np. posługujemy się znanym wyrazem „sól”, który zwykle odnosimy do soli kuchennej. W chemii tym terminem określamy związki otrzymane z kwasów. Nie trudno zauważyć, że definicje projektujące wprowadzają pewne konwencje terminologiczne. Mają one kolosalne znaczenie. Dzięki nim możemy uściślać i precyzować znaczenie terminów wieloznacznych, niewyraźnych czy nieostrych, co sprawi, że nasza wypowiedź stanie się jasna. Definicje projektujące nazywane są także definicjami syntetycznymi (bo zawieramy w nich niejako syntetycznie całą naszą wiedzę na temat określonego pojęcia). W przeciwieństwie do definicji analitycznych, definicje syntetyczne dodają coś nowego do skarbca ludzkiej wiedzy. Definicje projektujące mogą być podane zarówno w stylizacji językowej, jak i przedmiotowej. W pierwszym przypadku podają one definicje wyrazów. W drugim – definicje przedmiotów.

5. Warunki poprawności definicji wyrazów. Błędy w definiowaniu.
Najczęściej definiujemy określone wyrazy po to, by były one właściwie rozumiane. Wynika stąd pierwszy postulat, który wymaga, aby człon definiujący, za pomocą którego nadajemy znaczenie definiowanemu wyrazowi, sam był zrozumiały przez tych, do których kierujemy definicję. W przeciwnym wypadku popadamy w błąd „nieznane przez nieznane” (łac. ignotum per ignotum). Definicja obarczona takim błędem nazywana jest definicją wyraźnie tautologiczną.
Powyższy postulat (i związany z nim błąd) dotyczy zarówno definicji projektujących, jak i sprawozdawczych. Również dwa następne postulaty dotyczą obu rodzajów definicji.
Drugi postulat jest bliski temu pierwszemu. Wymaga on bowiem, by osoby, do których kierujemy definicję, nie tylko rozumiały wyrażenie w członie definiującym, lecz by je rozumiały właściwie.
Trzeci postulat domaga się, by w członie definiującym nie występował wyraz definiowany. W przeciwnym wypadku popada się w błąd „błędnego koła w definicji” (łac. circulus in definiendo; idem per idem – to samo przez to samo). Tego rodzaju błąd może występować w postaci błędnego koła bezpośredniego lub błędnego koła pośredniego. Z pierwszym mamy do czynienia wtedy, gdy w członie definiującym pojawia się wyrażenie definiowane w swojej własnej postaci, ewentualnie w innej stylistyce. Taki błąd znalazł się w następującym zdaniu: „logika to nauka o zasadach logicznego formułowania myśli”. Jeśli nie rozumiemy pojęcia „logika”, to tym bardziej nie zrozumiemy wyrażenia „logiczne myślenie”. Z błędnym kołem pośrednim spotykamy się, gdy w członie definiującym występuje wyrażenie, które samo wcześniej zostało zdefiniowane za pomocą wyrażenia aktualnie definiowanego. Taki błąd występuje w definicji: „Geometria jest to nauka wyprowadzona z aksjomatów”, jeśli wcześniej definiujemy aksjomaty jako wyjściowe tezy geometrii.
Poprawność definicji analitycznej zakłada ponadto warunek równości zakresów obu członów definicji: definiowanego i definiującego. Innymi słowy: nazwy pojawiające się w członie definiowanym i definiującym muszą mieć równe zakresy. Normalna definicja analityczna (sprawozdawcza) domaga się, by zakres wyrażenia definiującego było równy zakresowi wyrażenia definiowanego. W przeciwnym wypadku występuje błąd nieadekwatności. Mamy wtedy do czynienia z definicją albo za szeroką, albo za ciasną. Za szeroka jest np. definicja kwadratu jako czworoboku równobocznego, bo podpada pod nią również romb. Za ciasna z kolei jest np. następująca definicja ekonomii: „ekonomia jest to nauka o finansach”. Błędne również są definicje, których człony się krzyżują lub wykluczają (a ściślej – zakresy nazw występujących w tych członach krzyżują się lub wykluczają).

6. Definicje realne
Na koniec powrócimy do zagadnienia definicji realnych. Wiemy, że definicje nominalne podają znaczenie jakiegoś wyrażenia. Inaczej mówiąc: dotyczą nazw. Definicje realne natomiast odnoszą się nie do nazw, lecz do oznaczanych przez nie przedmiotów, czyli do desygnatów tych nazw. W definicji realnej usiłujemy więc uchwycić nie znaczenie nazwy, lecz to, co jest istotne dla danego przedmiotu (i tylko dla niego). Innymi słowy mówiąc, definicje realne podają jednoznaczną charakterystykę przedmiotów, wskazując ich cechy istotne, które można orzec tylko o tych przedmiotach.
W filozofii klasycznej te istotne cechy, które usiłujemy uchwycić w definicji realnej, nazywa się istotą. Pojęcie to wprowadził do filozofii i logiki Arystoteles. Istota, według niego, określa gatunkowe cechy przedmiotu, czyli te, które przysługują danemu przedmiotowi z racji jego przynależności do określonego gatunku. Pojęciem szerszym zakresowo od pojęcia gatunek jest rodzaj. Np. gatunek człowiek należy do rodzaju stworzeń zmysłowych (do których oprócz niego należą również zwierzęta). Cechą gatunkową człowieka, która go odróżnia od pozostałych stworzeń zmysłowych, jest jego rozumność. Ogólnie można powiedzieć, że cechy gatunkowe pozwalają odróżnić dany gatunek od innych gatunków należących do tego samego rodzaju. By określić istotę przedmiotu, czyli gatunek, do którego należy ten przedmiot, trzeba wskazać najbliższy temu gatunkowi rodzaj i coś, co odróżnia dany gatunek od innych gatunków należących do tego rodzaju, czyli różnicę gatunkową. Mówiąc krócej, w definicji realnej jakiegoś przedmiotu należy podać najbliższy danemu gatunkowi rodzaj i różnicę gatunkową (łac.: definitio fit per genus proximum et differentiam specificam). Definicje zbudowane w ten sposób nazywają się definicjami klasycznymi. Za klasyczną definicją stoi przekonanie, że każdy byt naturalny należy do jakiegoś gatunku. Reprezentuje, jako byt jednostkowy, określony gatunek. Ten z kolei należy do jakiegoś rodzaju. Porfiriusz (234-305), filozof neoplatoński, opisał całość bytów za pomocą drzewa, które po nim przyjęto nazywać „drzewem Porfiriusza”. Na szczycie tego drzewa znajduje się substancja (każdy byt jest substancją). Substancja rozgałęzia się na substancję niematerialną i substancję materialną, czyli ciało. Ciała, z kolei, dzielą się na nieożywione (przyroda nieożywiona) i ożywione, czyli istoty żywe. Istoty żywe dzielą się dalej na niezmysłowe (rośliny) oraz zmysłowe. Zmysłowe wreszcie rozgałęziają się na nierozumne (zwierzęta) i rozumne (ludzie). O człowieku możemy zatem powiedzieć, używając współczesnego języka, że jest najwyżej zorganizowaną substancją materialną. Powyższe zdanie nie jest jednakże definicją człowieka, a jedynie umiejscawia go w przysługującym mu miejscu na drzewie Porfiriusza. By zdefiniować człowieka za pomocą drzewa Porfiriusza, trzeba podać jego najbliższy rodzaj (a jest nim istota zmysłowa – łac. animal) oraz charakteryzującą ludzki gatunek różnicę gatunkową (rozumność). Człowiek zatem, według Porfiriusza (i Arystotelesa), jest to istota zmysłowa rozumna.
Graficznie drzewo Porfiriusza zwykle przedstawia się następująco:

Substancja

niematerialna materialna
ę
ciało

nieożywione ożywione
(przyroda nieożywiona) ę
istota żywa

niezmysłowa zmysłowa
(roślina) ę
istota zmysłowa

nierozumna rozumna
(zwierzę) ę
człowiek

Klasyczny sposób definiowania – przez rodzaj najbliższy i różnicę gatunkową – ma obecnie znaczenie raczej już tylko historyczne. Jednakowoż postulat, by w definicji realnej podawać charakterystyczne cechy przedmiotu, a zarazem istotne, pozostał aktualny.
Obecnie od definicji realnej jakiegoś przedmiotu wymaga się, by podawała syntezę aktualnej wiedzy o tym przedmiocie. Gdy nasza wiedza o danym przedmiocie zmienia się, ulegają zmianie definicje tego przedmiotu. Szczególnie jest to widoczne w naukach przyrodniczych. Definicje określonych przedmiotów czy zjawisk, dawniej wystarczające, dzisiaj, w świetle poznanych nowych zjawisk, już nie wystarczają, gdyż nie oddają istotnych cech tych przedmiotów czy zjawisk, ujawnionych w ostatnich czasach.
Nie zawsze możliwe jest podanie definicji. Nie wszystko da się zdefiniować. W takich sytuacjach definicje zastępuje przez inne czynności, a mianowicie takie jak:
1. proste wskazanie jakiejś rzeczy (np. róży – próba zdefiniowania róży spaliłaby z pewnością na panewce, ale łatwo ją pokazać);
2. charakterystyka – podanie charakterystycznych cech, czyli istotnych przymiotów danej rzeczy;
3. opis – podanie różnych zauważonych cech danej rzeczy, niekoniecznie tych najbardziej charakterystycznych i istotnych;
4. porównanie danej rzeczy do czegoś;
5. odróżnienie danej rzeczy od czegoś.

VII Podział logiczny

Gdy chcemy bliżej opisać desygnaty określonej nazwy pod kątem posiadania przez nie (lub nie) jakiejś interesującej nas jakości – wyróżniając wśród nich takie, które ją posiadają i takie, które jej nie posiadają – dokonujemy czegoś, co się nazywa podziałem logicznym. Wyróżnioną cechę, która pozwala nam podzielić wszystkie desygnaty danej nazwy – na posiadające tę i cechę i jej nie posiadające – nazywamy zasadą bądź kryterium podziału.
Najogólniej mówiąc, podział logiczny polega na wyróżnieniu w grupie przedmiotów stanowiących wszystkie desygnaty danej nazwy podgrup według ściśle określonego kryterium. Domyślamy się, że podział logiczny dotyczy zakresów nazw lub terminów, a nie – ich znaczenia. Można powiedzieć, że podział logiczny zakresu określonej nazwy jest to odróżnienie (myślowe) jednych desygnatów danej nazwy od wszystkich pozostałych desygnatów tejże nazwy ze względu na określoną cechę. Można uznać, iż chodzi tu o wydzielanie z zakresu danej nazwy zakresów nazw jej podporządkowanych. Jako przykład można podać logiczny podział liczb całkowitych na podzielne przez dwa i niepodzielne przez dwa. Dzielimy zakres terminu „liczba całkowita” na dwa podzakresy. Jeden z nich stanowią desygnaty terminu „liczba podzielna przez dwa”; drugi – desygnaty terminu „liczba niepodzielna przez dwa”. Kryterium podziału jest tu podzielność przez dwa. Zauważamy w podanym przykładzie, że wydzielone przez podział elementy wykluczają się wzajemnie, tzn. zakres terminu „liczba podzielna przez dwa” i zakres terminu „liczba niepodzielna przez dwa” wykluczają się. Inaczej mówiąc, dwu uzyskanym przez podział nazwom odpowiadają różne desygnaty. Zauważamy ponadto, iż oba wydzielone zakresy cząstkowe sumują się, tworząc zakres dzielonego terminu „liczba całkowita”. Te zauważone cechy muszą znaleźć się w każdym poprawnym podziale logicznym. Dlatego nazywamy je warunkami podziału logicznego. Każdy podział, który je spełnia jest poprawny. Ujmiemy je w następujące punkty:
1. Podział logiczny (danej nazwy) powinien być wyczerpujący – suma zakresów członów podziału (czyli nazw podporządkowanych zakresowo dzielonej nazwie) winna równać się zakresowi dzielonej nazwy.
Niewyczerpujący jest n