Ta "trudna całka" jest banalna jeśli się uważa na studiach i rozwiązuje zadania :P Na początku robisz podstawienie: [latex]u = ln(x)[/latex] Z tego podstawienia wynika: [latex]du = frac{1}{x}dx[/latex] Otrzymujesz wtedy całkę: [latex]int sqrt{1-u^2} du[/latex] Tę całkę z kolei też można prosto rozwiązać robiąc podstawienie [latex]u = sin(t)[/latex] Z tego wynika: [latex]du = cos(t)dt[/latex] Otrzymujemy w efekcie całkę: [latex]int sqrt{1-sin^2(t)}cos(t) dt[/latex] Z jedynki trygonometrycznej zastosowanej dla wnętrza pierwiastka wychodzi: [latex]int cos^2(t) dt[/latex] Tę ostatnią całkę rozwiązujemy dowolną metodą. Można ją zamienić na całkę cosinusa w pierwszej potędze za pomocą tożsamości trygonometrycznych. Ja podam po prostu wynik tej ostatniej całki, żeby się za bardzo nie rozpisywać: [latex]int cos^2(t) dt = frac{1}{2}(t + frac{1}{2}sin(2t)) + C[/latex] Teraz wracając z podstawieniami do początku uzyskujesz w pierwszym kroku: [latex]frac{1}{2}(arcsin(u) + frac{1}{2}sin(2arcsin(u))) + C[/latex] Korzystając z tożsamości trygonometrycznych można sinus podwojonego kąta zapisać w prostszej postaci i w efekcie sprowadzić to do: [latex]frac{1}{2}(arcsin(u) + usqrt{1-u^2}) + C[/latex] i powracając do pierwszego podstawienia uzyskujemy: [latex]frac{1}{2}(arcsin(ln(x)) + ln(x)sqrt{1-ln^2(x)}) + C[/latex]
