Zad.1 Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, podzielnych przez 4, dających resztę 1. Zad.2 Rozwiąż równanie         1 + 5 + 9 + … + x = 153.

1. Najmniejszą liczbą dwucyfrową, która w dzieleniu przez 4 daje resztę 1 jest 13, a największą 97. Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=4 [latex]a_1=13\a_n=97\97=13+(n-1)cdot4\4(n-1)=84\n=1=21\n=22[/latex] [latex]S_{22}=frac{13+97}{2}cdot22=110cdot11=1210[/latex] 2. [latex]1+5+9+...+x=153[/latex] Po lewej stronie jest suma pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym [latex]a_1=1\r=4\a_n=x=1+(n-1)cdot4=4n-3\S_n=153[/latex] [latex]frac{1+4n-3}{2}cdot n=153\frac{n(4n-2)}{2}=153\n(2n-1)=153\2n^2-n-153=0\Delta=1+1224=1225\n_1=frac{1-35}{4}<0 vee n_2=frac{1+35}{4}=9\n=9\x=4cdot9-3=33[/latex]

liczbę podzielną przez 4 z resztą 2 możemy zapisać w postaci 4n+1 gdzie n€N. Poszczególne liczby tworza wyrazy ciągu opisanego wzorem: an = 4n + 1 Ciąg an jest arytmetyczny gdyż: a(n+1) = 4(n+1)+1 = 4n+5 r = a(n+1)-an = 4 przy czym 99 4n>8 n>2 4n+1<100 4n<99 n<24,75 Szukamy więc sumy wyrazów ciągu od n = 3 do n = 24 a1 = 4*1+1 = 5 a2 = 4*2+1 = 9 a24 = 4*24+1 = 97 S24 = (5+97)/2*24 = 1 224 Od tego musimy odjąć sumę wyrazów mniejszych od 10 czyli : S2 = a1+a2= 5+9 = 14 Szukana suma = S24-S2 = 1 224 - 14 = 1 210 2 1+5+9.....+x = 153 Kolejne wyrazy sumy stanowią ciąg arytmetyczny o a1 = 1 i r = 4. Po lewej mamy więc sumę ciągu arytmetycznego (2*a1+(n-1)r)/2*n = 153 (2*1 +(n-1)*4)/2*n = 153 (2+4n-4)/2*n = 153 (1+2n-2)n = 153 -n+2n^2-153 = 0 2n^2-n-153 = 0 Δ= 1+4*2*153= 1 225 √Δ = 35 n1= (1-35)/4 - to jest <0 n2 = (1+35)/4 = 9 Wyliczyliśmy że x to jest 9 wyraz ciągu x = a1+(n-1)*r = 1+(9-1)4 = 1+32 = 33