1. Ponieważ [latex]a ge b>0[/latex] więc możemy pomnożyć obie strony przez [latex]b(a^2+3b^2)[/latex] [latex]frac{a}{b} ge frac{b^2+3a^2}{a^2+3b^2} /cdot b(a^2+3b^2)[/latex] [latex]a(a^2+3b^2) ge b(b^2+3a^2)[/latex] [latex]a^3+3ab^2 ge b^3+3a^2b[/latex] [latex]a^3+3ab^2-b^3-3a^2b ge 0[/latex] [latex](a-b)^3 ge 0[/latex] Ponieważ [latex]a ge b>0[/latex] więc nierówność jest prawdziwa. ================== 2. [latex]a^2+b^2+2=2a+2b[/latex] [latex]a^2-2a+b^2-2b+2=0[/latex] [latex]a^2-2a+1+b^2-2b+1=0[/latex] [latex](a-1)^2+(b-1)^2=0[/latex] Suma kwadratów dwóch liczb nieujemnych będzie równa 0 jeżeli obie liczby będą równe 0. [latex]a-1=0 i b-1=0[/latex] [latex]a=1 i b=1[/latex] [latex]a=b=1[/latex] ================== 3. [latex]a^3+b^3= sqrt{3}[/latex] [latex]a^6-b^6= sqrt{6}[/latex] [latex]a^3-b^3= sqrt{2}[/latex] [latex]a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3) Rightarrow a^3-b^3= frac{a^6-b^6}{a^3+b^3}[/latex] [latex]a^3-b^3= frac{ sqrt{6}}{sqrt{3}}= sqrt{ frac{6}{3} }= sqrt{2} [/latex]
