Zadanie 11. Przekształćmy ten ułamek. Mamy: [latex]frac{sin(x^{2})}{sin^{2} x}=frac{sin (x^{2})}{sin x cdot sin x}=frac{x^{2}sin(x^{2})}{x^{2}} cdot frac{x}{x sin x} cdot frac{x}{x sin x}[/latex] Jako że, jak napisałaś, [latex] limlimits_{x o 0} frac{sin x}{x}=1[/latex] otrzymasz: [latex]limlimits_{x o 0} left( frac{x^{2}sin(x^{2})}{x^{2}} cdot frac{x}{x sin x} cdot frac{x}{x sin x} ight)= limlimits_{x o 0} (x^{2} cdot 1 cdot frac{1}{x} cdot frac{1}{x})= limlimits_{x o 0} (x^{2} cdot frac{1}{x^{2}})= \ = limlimits_{x o 0} (1)=1[/latex] I na podstawie tego co napisałem tutaj robisz podobnie pozostałe: [latex]limlimits_{x o 0} frac{sin 3x}{sin 5x}=limlimits_{x o 0} left( frac{3x sin 3x}{3x} cdot frac{5x}{5x sin 5x} ight)=limlimits_{x o 0}(3x cdot frac{1}{5x})=frac{3}{5}[/latex] W trzecim musisz natomiast zauważyć poniższą zależność: [latex]1-cos x= 2sin^{2} frac{x}{2}[/latex] (spróbuj wykazać że to prawda!) Otrzymasz zatem granicę do policzenia: [latex]limlimits_{x o 0} frac{2sin^{2}frac{x}{2}}{x^{2}}=limlimits_{x o 0} frac{2 cdot sin frac{x}{2} cdot sin frac{x}{2}}{x^{2}}=limlimits_{x o 0} left( frac{1}{x^{2}} cdot frac{2 cdot frac{x}{2} cdot sin frac{x}{2}}{frac{x}{2}} cdot frac{frac{x}{2} cdot sin frac{x}{2}}{frac{x}{2}} ight) = \ = limlimits_{x o 0} left( frac{1}{x^{2}} cdot x cdot frac{x}{2} ight)=limlimits_{x o 0} left( frac{1}{x^{2}} cdot frac{x^{2}}{2} ight)=frac{1}{2}[/latex]
