[latex]A_n={xinmathbb{R}: 1-frac{1}{n+1}leq xleq2-frac{1}{n+1}}[/latex] zauwazmy ze [latex]displaystylelim_{n oinfty}(1-frac{1}{n+1})=1[/latex] oraz [latex]displaystylelim_{n oinfty}(2-frac{1}{n+1})=2[/latex] wiec lewy koniec zbioru [latex]A_n[/latex] zbliza sie do 1 od LEWEJ strony a prawy koniec zbliza sie do 2 tez od LEWEJ strony Zatem dla kazdego n [latex]1in A_n[/latex] ale dla dowolnej liczby mniejszej od 1 dla odpowiednio duzego n liczba ta juz na pewno nie bedzie w zbiorze [latex]A_n[/latex]. Dla prawego konca odwrotnie: dla kazdego n [latex]2 otin A_n[/latex] ale juz liczba dowolnie bliska 2 ale mniejsza od 2 bedzie w zbiorze [latex]A_n[/latex] przynajmniej dla odpowiednio duzych n. Wynika stad ze jak bedziemy sumowac zbiory [latex]A_n[/latex] to patrzac na lewy koniec (okolice 1) najwiecej pokryje zbior [latex]A_0=[0;1][/latex] a patrzac na prawy koniec, zbiory beda "dazyc" do 2 ale nigdy 2 w zadnym z nich sie nie znajdzie dlatego [latex]igcup A_n=[0;2)[/latex] a jesli chodzi o przekroj to [latex]A_0=[0;1][/latex] a kazdy kolejny zbior bedzie wykrajal z tego coraz wiecej az w granicy zostanie tylko 1 bo lewy koniec zbiorow [latex]A_n[/latex] dazy wlasnie do 1, czyli [latex]igcap A_n={1}[/latex] [latex]B_n={xinmathbb{R}: n^2+2n-10leq,xleq n^2-2n+2}[/latex] Zauwazmy ze lewy koniec "przegoni" prawy dla odpowiednio duzego n, (n>12) oznacza to ze dla n>12 [latex]B_n=emptyset[/latex] czyli przekroj zbiorow bedzie na pewno pusty a jesli chodzi o sume to mamy tu sume pierwszych 13 zbiorow bo reszta to zbiory puste i do sumy juz nic nie wnosza. Przyjrzyjmy sie blizej sumie pierwszych 13 zbiorow: Oba konce kolejnych zbiorow sa ciagami rosnacymi i dla [latex]nleq12[/latex] lewy koniec goni prawy i w koncu go dogania dla [latex]n=12[/latex] wobec tego [latex]displaystyleigcup_{n=0}^{infty}B_n=displaystyleigcup_{n=0}^{12}B_n=[-10;122][/latex] zad 2 a) tu oba konce daza do zera i zbiory [latex]A_n[/latex] sa zstepujace tzn. kazdy kolejny jest mniejszy (zawiera sie w poprzednim), stad natychmiast wynika ze suma bedzie pierwszym zbiorem, a przekroj "ostatnim" [latex]displaystyleigcup_{n=1}^{infty}A_n=A_1=[-1;1)[/latex] [latex]displaystyleigcap_{n=1}^{infty}A_n={0}[/latex] b) tu zauwazmy ze kolejne zbiory ladnie sie uzupelniaja ale nigdy nie beda zawierac zera tzn. [latex][frac12;1],[frac13;frac12],[frac14;frac13][/latex] ale pierwszy z dziesiatym ma pusty przekroj, zatem [latex]displaystyleigcup_{n=1}^{infty}A_n=(0;1][/latex] [latex]displaystyleigcap_{n=1}^{infty}A_n=emptyset[/latex] c) podobnie, przy sumowaniu zbiory ladnie sie zazebiaja, ale pierwszy z dziesiatym ma juz pusty przekroj wiec [latex]displaystyleigcup_{n=1}^{infty}A_n=(0;2][/latex] [latex]displaystyleigcap_{n=1}^{infty}A_n=emptyset[/latex] d) znow zbiory zstepujace, lewy koniec zbiorow dazy monotonicznie (rosnie) do liczby e ktora jest mniejsza od 3 a prawy jest ustalony, zatem [latex]displaystyleigcup_{n=1}^{infty}A_n=A_1=[2;3][/latex] [latex]displaystyleigcap_{n=1}^{infty}A_n=[e;3][/latex] e)analogicznie jak w b), zbiory sie ladnie zazebiaja ale np. pierwszy i trzeci maja pusty przekroj wiec caly przekroj rowniez musi byc pusty [latex]displaystyleigcup_{n=1}^{infty}A_n=[1;+infty)[/latex] [latex]displaystyleigcap_{n=1}^{infty}A_n=emptyset[/latex] w razie pytan pisz.
