M = 10 kg m = 0,1 kg V = 200 m/s h = ? Ep wahadła zmieni się w Ek Ep = (m + M ) gh Ek = mV²/ 2 [latex]( m + M ) gh = frac{mV^2}{2} /* 2 [/latex] [latex]2gh (m+ M ) = mV^2 /: 2g (m+ M )[/latex] [latex]h = frac{mV^2}{2g (m+ M )} [/latex] [latex]h = frac{0,1 kg * (200 frac{m}{s})^2 }{2 * 9,81 frac{m}{s^2} * ( 10 kg + 0,1 kg )} = frac{4000kg * frac{m^2}{s^2} }{19,62 frac{m}{s^2}* 10,1 kg } = 20,14 m [/latex]
[latex]Dane:[/latex] [latex]M = 10 kg[/latex] [latex]m = 0,1 kg[/latex] [latex]v_1 = 200 frac{m}{s}[/latex] [latex]Szukane:[/latex] [latex]h[/latex] W tym zadaniu skorzystamy z zasady zachowania pędu oraz zasady zachowania energii. Na początku zasada zachowania pędu (podczas czytania odpowiedzi otwórz załącznik do zadania). Teoria zasady zachowania pędu mówi nam o tym, że pęd początkowy [latex]p_0[/latex] równa się pędowi końcowemu [latex]p_k[/latex]: [latex]p_0 = p_k[/latex] Gdy pocisk o masie [latex]m[/latex] leciał z pewną prędkością [latex]v_1[/latex] w stronę wahadła o masie [latex]M[/latex], to pęd początkowy takiego układu będzie sumą pędu pocisku i wahadła. Pęd wyrażamy za pomocą wzoru: [latex]p = mv[/latex] Tak więc pęd początkowy [latex]p_0[/latex] wygląda następująco: [latex]p_0 = mv_1 + Mv_M[/latex] [latex]v_M[/latex], to prędkość z jaką porusza się wahadło. Na początku prędkość tego wahadła wynosiła [latex]0[/latex], ponieważ wahadło stało w miejscu, tak więc równanie pędu początkowego wynosi: [latex]p_0 = mv_1 + M cdot 0[/latex] [latex]p_0 = mv_1[/latex] Następnie, gdy pocisk uderzył w wahadło, utkwił w nim i nadał wahadle pędu, pod wpływem, którego wahadło wyszło ze stanu równowagi, czyli po prostu się wychyliło. My mamy ustalić na jaką wysokość się to wahadło wychyliło. Na początku wahadło miało masę równą [latex]M[/latex], gdy pocisk o masie [latex]m[/latex] wbił się w wahadło, zmieniła się masa tego wahadła, która teraz jest sumą masy własnej wahadła i masy pocisku, czyli [latex]m+M[/latex]. Co więcej wahadło pod wpływem uderzenia nabrało prędkości [latex]v_2[/latex], tak więc posiadało pęd. Pęd końcowy wahadła wynosi: [latex]p_k = (m+M)v_2[/latex] Na początku napisałem, że pęd początkowy równa się pędowi końcowemu, tak więc podstawiając za pęd początkowy i końcowy dane otrzymamy: [latex]p_0 = p_k[/latex] [latex]mv_1 = (m+M)v_2[/latex] Przekształcamy równanie, tak aby obliczyć prędkość wahadła [latex]v_2[/latex] [latex]v_2 = frac{mv_1}{m+M}[/latex] Podstawiamy dane i mamy prędkość wahadła. Znając prędkość z jakim porusza się wahadło, możemy przejść do zasady zachowania energii. Zasada zachowania energii jest podobna do zasady zachowania pędu, czyli energia początkowa równa się energii końcowej. Na początku wahadło wychyliło się ze stanu równowagi, ponieważ miało prędkość, a co za tym idzie energię kinetyczną. Energię kinetyczną wyrażamy wzorem: [latex]E_k = frac{mv^2}{2}[/latex] Podstawiając za [latex]m[/latex] masę wahadła, a za [latex]v[/latex] prędkość wahadła, dostaniemy: [latex]E_k = frac{(m+M)(v_2)^2}{2}[/latex] Gdy wahadło wychylało się z położenia równowagi traciło swoją prędkość, czyli traciło energię kinetyczną, ale zyskiwało wysokość - energię potencjalną [latex]E_p[/latex]. Tak więc na końcu wahadło miało tylko energię potencjalną, którą wyraża się wzorem: [latex]E_p = mgh[/latex] Tak więc dla naszego wahadła będzie wyglądała: [latex]E_p = (m+M)gh[/latex] Korzystając z zasady zachowania energii, czyli energia początkowa ma być równa energii końcowej, otrzymamy: [latex]E_k = E_p[/latex] [latex]frac{(m+M)(v_2)^2}{2} = (m+M)gh[/latex] Dzielimy obustronnie przez masę wahadła: [latex]frac{(v_2)^2}{2} = gh[/latex] Teraz przekształcamy równanie, by otrzymać wzór na wysokość: [latex]h = frac{(v_2)^2}{2g}[/latex] Podstawiamy dane i zadanie zrobione.
