Zadanie 4
Rysunek w załączeniu
Obliczenia
Wiemy, że wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają równą długość, która wynosi a
Obliczam cosinusa kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy:
- obliczam wysokość ściany bocznej EG - h, korzystając z twierdzenia Pitagorasa
BG² + EG² = BE² według naszych oznaczeń krawędzi - a możemy zapisać
(1/2 a)² + h² = a²
h² = a² - 1/4 a²
h² = 3/4a²
h = √3/4a² = 1/2a√3
mając daną wysokość ściany bocznej i długość odcinka FG = 1/2a możemy wyznaczyć cos kąta FGF = α
przypominam,że cosα to stosunek przyległej do tego kąta do przeciwprostokątnej
według oznaczeń na rysunku cosα = FG/EG
cos α = 1/2 a/1/2a√3
cosα = 1/√3 = 1·√3/√3·√3 = √3/3
cos α = √3/3
obliczamy cos dla kąta FBE oznaczmy go β
cosβ = FB/BE
FB - połowa przekątnej kwadratu = a√2/2
BE - krawędź = a
cosβ = (a√2/2)/a = a√2/2a = √2/2
cos β = √2/2
Zadanie 5
a.
Wykorzystujemy rysunek do poprzedniego zadania
obliczamy wysokość GE - h, korzystając z następujących danych
FG = 3
cos α = FG/EG
α = 30⁰
cos30⁰ = √3/2
cos30⁰ = 3/h
√3/2 = 3/h
6 = h√3
h = 6/√3
h = 6·√3/√3·√3
h = 6/3 ·√3
h = 2√3
Obliczamy pole ściany bocznej z wzoru P = a·h/2
P = 6·2·√3/2
P = 6√3
ścian bocznych mamy 4 to pole powierzchni bocznej = 4·6·√3 = 24√3
Pole podstawy
podstawa jest kwadratem i jej pole P = a²
P = 6² = 36
Pole powierzchni całkowitej wynosi: pole powierzchni bocznej + pole podstawy
Pc = Pp + Pb
Pc = 36 + 24√3
Objętość
V = Pp·H
H wyliczymy z twierdzenia Pitagorasa
EG²=EF² + FG²
EG = 2√3
EF = H
FG = 3
(2√3)² = H² + 3²
12 = H² + 9
H² = 12 - 9
H² = 3
H = √3
Objętość
V = 1/3Pp·H
V = 1/3·36·√3 = 12√3
Pole powierzchni bocznej wynosi 36 + 24√3 jed², a objętość 12√3 jed³
b.
Rozważamy ostrosłup prawidłowy o podstawie trójkąta równobocznego
Przypomnijmy sobie, że
wysokość w trójkącie równobocznym ma wartość h = a√3/2
Wyliczamy wysokość ściany bocznej
wiemy, że kąt α między ścianą boczną a podstawą wynosi 30⁰
korzystamy z definicji cos według oznaczeń na rysunku
cosα = EF/FD
EF = 1/3 wysokości podstawy = 1/3·6√3/2 = √3
FD = h
cos 30⁰ = √3/2
√3/2 = √3/h
2√3 = h√3
h = 2√3/√3
h = 2
Obliczamy pole ściany bocznej
P = 1/2 a·h
P = 1/2 · 6 · 2
P = 6 jed²
Pole powierzchni bocznej
ostrosłup posiada 3 ściany wobec tego w naszym ostrosłupie
Pb = 3·6 jed² = 18 jed²
Obliczamy pole podstawy
Pp = 1/2 · a · h
Pp = 1/2 · 6 · 6√3/2
Pp = 9√3 jed²
Pc = Pp + Pb
Pc = 9√3 + 18 = 9(√3 +2) jed²
obliczamy objętość
Korzystamy z prawa Pitagorasa
FD² = EF² + H²
FD = 2
EF = 1/3·6√3/2 = √3
2² = (√3)² + H²
4 = 3 + H²
H² = 1
H = √1
H = 1
objętość
V = 1/3 ·Pp · H
V = 1/3·9√3·1
V = 3√3 jed³
c.
postawa sześciokąt
Wzór na pole sześciokąta
P = 3a²√3/2
P = 3·6²·√3/2
P = 3·36·√3/2
P = 54√3 jedn²
Obliczamy wysokość ściany bocznej z def cos α
cos α = HI/IG
α = 30⁰
cos 30⁰ = √3/2
HI = a√3/2
IG = h
√3/2 = 3√3/h
6√3 = h√3
h = 6
Pole ściany bocznej
P = 1/2 ·a ·h
P = 1/2·6·6 = 18 jedn²
Nasz ostrosłup ma 6 ścian czyli Pb = 6·18 jedn² = 108 jedn²
Pole powierzchni całkowitej
Pc = Pp + Pb
Pc = (54√3 + 108) jedn²
Pc = 54(√3 + 2) jedn²
obliczamy objętość
V = 1/3 Pp ·H
obliczamy H
korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
IG² = IH² + H²
IG = 6
IH = a√3/2 = 6√3/2 = 3√3
6² = (3√3)² + H²
36 =27 + H²
H² = 36 - 27
H² = 9
H = √9
H = 3
V = 1/3·Pp·H
V = 1/3 ·54√3 ·3
V = 54√3 jedn³
