W każdym podpunkcie wystarczy rozwiązać odpowiedni układ równań: a) Równanie 1. okręgu: (x-1)²+y²=4 Równanie 2. okręgu: (x+1)²+y²=16 (x-1)²+y²=4 (x+1)²+y²=16 -(x-1)²-y²=-4 (x+1)²+y²=16 +----------------- (x+1)²-(x-1)²=12 x²+2x+1-(x²-2x+1)=12 x²+2x+1-x²+2x-1=12 4x=12 x=3 (3-1)²+y²=4 4+y²=4 y²=0 y=0 {x=3 {y=0 A=(3;0) b) x²+(y-3)²=27 (x+2)²+(y-3)²=9 -x²-(y-3)²=-27 (x+2)²+(y-3)²=9 +--------------------- (x+2)²-x²=-18 x²+4x+4-x²=-18 4x+4=-18 4x=-22 x=-5,5 (-5,5)²+(y-3)²=27 (y-3)²=27-30,25 (y-3)²=-3,25 Równanie sprzeczne - brak punktów wspólnych. c) x²+y²=1 y=x² ---------- y²+y=1 y²+y-1=0 Δ=1²-4·1·(-1)=1+4=5 √Δ=√5 [latex]y=frac{sqrt{5}-1}{2} lub y=frac{-sqrt{5}-1}{2}\\x^{2}=y\x=-sqrt{y} lub x=sqrt{y}\\x^{2}=frac{-sqrt{5}-1}{2} rownanie sprzeczne - liczba ujemna\\x^{2}=frac{sqrt{5}-1}{2}\\x=-sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}} lub x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}}\\A=(-sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}};frac{sqrt{5}-1}{2})\\B=(sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}};frac{sqrt{5}-1}{2})[/latex] d) x²+(y+2)²=5 y=-x²+5 => x²=5-y ------------ 5-y+(y+2)²=5 5-y+y²+4y+4=5 y²+3y+4=0 Δ=3²-4·1·4=9-16=-7<0 Równanie sprzeczne - brak punktów wspólnych.
[latex]\a) \(x-1)^2+y^2=4 implies y^2=4-(x^2-2x+1) \ \(x+1)^2+y^2=16 implies y^2=16-(x^2+2x+1) \ \4-x^2+2x-1=16-x^2-2x-1 \ \2x+2x=15-3 \ \4x=12 \ \x=3 \ \y^2=4-9+6-1=0 \ \y=0 \ \Odp. P=(3,0)[/latex] b) [latex]\(y-3)^2=27-x^2 \ \(y-3)^2=9-(x^2+4x+4) \ \9-x^2-4x-4=27-x^2 \ \-4x=27-5 \ \x=-frac{22}{4}=-5frac12 \ \(y-3)^2=27-(5,5)^2=27-30,25=-3,25<0 sprzeczne \ \Odp. Okregi nie maja punktow wspolnych.[/latex] c) [latex]\x^2+y^2=1 wedge y=x^2 \ \y^2+y=1 \ \y^2+y-1=0 \ \Delta=1+4=5 \ \y_1=frac12(-1-sqrt5)=-frac{1+sqrt5}{2} otin D, y=-frac{1-sqrt5}{2} \ \x_1=sqrt{-frac{1-sqrt5}{2}}, x_2=-sqrt{-frac{1-sqrt5}{2}} \ \Odp. A=(sqrt{-frac{1-sqrt5}{2}},-frac{1-sqrt5}{2} ), B=(-sqrt{-frac{1-sqrt5}{2}}, -frac{1-sqrt5}{2})[/latex] d) [latex]\x^2+(y+2)^2=5 wedge y=-x^2+5implies x^2=5-y , yleq5 \ \5-y+(y+2)^2=5 \ \y^2+4y+4-y=0 \ \y^2+3y+4=0 \ \Delta=9-4*4=-7<0 brak miejsc zerowych. \ \Odp. Okrag i parabola nie maja punktow wspolnych.[/latex]
