[latex]1.\y=3x^2-6x+4\\a=3; b=-6; c=4\\wierzcholek:W(p; q) gdzie p=frac{-b}{2a}; q=f(p)\\p=frac{-(-6)}{2cdot3}=frac{6}{6}=1\\q=f(1)=3cdot1^2-6cdot1+4=3-6+4=1\\W(1; 1)\\postac kanoniczna:y=a(x-p)^2+q\\y=3(x-1)^2+1[/latex] ============================================================= [latex]2.\y=-2x^2-5x+3\\a=-2; b=-5; c=3\\Delta=b^2-4ac; Delta=(-5)^2-4cdot(-2)cdot3=25+24=49\\sqrtDelta=sqrt{49}=7\\x_1=frac{5-7}{2cdot(-2)}=frac{-2}{-4}=frac{1}{2}; x_2=frac{5+7}{2cdot(-2)}=frac{12}{-4}=-3\\a=-2 < 0-ramiona paraboli skierowane w dol\\y < 0 dla xin(-infty;-3) cup (frac{1}{2}; infty)\y > 0 dla xin(-3; frac{1}{2})[/latex] ============================================================= [latex]3.\y=frac{1}{2}x^2-2x-2; y=-x+2\\porownujemy:\\frac{1}{2}x^2-2x-2=-x+2\\frac{1}{2}x^2-2x+x-2-2=0\\frac{1}{2}x^2-x-4=0 /cdot2\\x^2-2x-8=0\\Delta=(-2)^2-4cdot1cdot(-8)=4+32=36; sqrtDelta=sqrt{36}=6[/latex] [latex]x_1=frac{2-6}{2cdot1}=frac{-4}{2}=-2; x_2=frac{2+6}{2cdot1}=frac{8}{2}=4\\dla x=-2 o y=-(-2)+2=2+2=4 o(-2; 4)\dla x=4 o y=-4+2=-2 o(4;-2)[/latex] =========================================================== [latex]4.\a) x^2-25geq0\\x^2-5^2geq0\\(x-5)(x+5)geq0\\x=5; x=-5\\wspolczynnik przy x^2 jest dodatni zatem ramiona paraboli\skierowane w gore\\xin(-infty;-5 > cup < 5; infty)\\------------------------------[/latex] [latex]b) x^2-6x+9leq0\\x^2-2cdot xcdot3+3^2leq0\\(x-3)^2leq0\\kwadrat kazdej liczby rzeczywistej jest nieujemny zatem jedynym\rozwiazaniem tej nierownosci jest wartosc rowna 0:\\x-3=0 o x=3[/latex] [latex]-----------------------------\\c) 3x-x^2 > 0\\x(3-x) > 0\\x=0; x=3\\wspolczynnik przy x^2 jest ujemny zatem ramiona paraboli\skierowane w dol\\xin(0; 3)[/latex] =========================================================== [latex]5*.\a-cyfra dziesiatek\b-cyfra jednosci\10a+b-szukana liczba\10b+a-liczba po przestawieniu cyfr\\ left{egin{array}{ccc}a+b=5\(10a+b)(10b+a)=574end{array} ight o left{egin{array}{ccc}a=5-b\(10a+b)(10b+a)=574end{array} ight\\ [10(5-b)+b](10b+5-b)=574\(50-10b+b)(9b+5)=574\(50-9b)(9b+5)=574\450b+250-81b^2-45b-574=0\-81b^2+405b-324=0 /:(-81)[/latex] [latex]b^2-5b+4=0\\Delta=(-5)^2-4cdot1cdot4=25-16=9; sqrtDelta=sqrt9=3\\b_1=frac{5-3}{2cdot1}=frac{2}{2}=1; b_2=frac{5+3}{2cdot1}=frac{8}{2}=4\\dla b=1 o a=5-1=4\dla b=4 o a=5-4=1\\Odp:Szukana liczba jest 41 lub 14.[/latex]
