PILNiE NA ZARAZ!! 1. Wyprowadź wzór na ilość przekątnych w n-wielokącie. 2. Wyprowadź wzór na sume kątów wewnętrznych w n-wielokącie. Nie chodzi mi o podanie wzoru, tylko na wyprowadzenie go z komentarzami.

1. Z każdego wierzchołka poprowadzić można (n-3) przekątne (bo jest n wierzchołków, a nie prowadzimy do tego wierzchołka i do dwóch sąsiednich, bo te odcinki to boki wielokąta). Jest n wierzchołków, więc mamy iloczyn n(n-3). Ten iloczyn dzielimy na 2 (bo każda z przekątnych liczona byłaby podwójnie) p- liczba przekątnych [latex]p=frac{n(n-3)}{2}[/latex] Albo: Wybieramy wszystkie pary wierzchołków i odejmujemy liczbę boków [latex]p={nchoose2}-n=frac{n!}{2!(n-2)!}-n=frac{n(n-1)}{2}-n=frac{n^2-n-2n}{2}=frac{n^2-3n}{2}=frac{n(n-3)}{2}[/latex] 2. Wybieramy jeden z wierzchołków i prowadzimy z niego przekątne. Takich przekątnych jest n-3. Podzieliliśmy więc wielokąt na (n-2) trójkąty. Suma kątów wewnętrznych tych trójkątów daje sumę kątów wewnętrznych wielokąta. Stąd suma kątów n-kącie: [latex]s=180^0(n-2)[/latex]