1.Oblicz [latex]log _{2} frac{1}{2} (log _{3} x)[/latex] jeżeli x=81 2 Zapisz wyrażenie w postaci [latex] 2^{k} [/latex] gdzie k jest liczbą wymierną [latex] frac{4 ^{2}* sqrt[3]{16} }{32} [/latex]

zadanie 1 [latex]x=81\\log_{2}frac{1}{2}(log_{3}x)=log_{2}frac{1}{2}(log_{3}81)=log_{2}frac{1}{2}*4=log_{2}frac{4}{2}=log_{2}2=1\\ o log_{3}81=4 bo 3^{4}=81\ o log_{2}2=1 bo 2^{1}=2[/latex] zadanie 2 [latex]frac{4^{2}*sqrt[3]{16}}{32}=frac{(2^{2})^{2}*(2^{4})^{frac{1}{3}}}{2^{5}}=frac{2^{4}*2^{frac{4}{3}}}{2^{5}}=frac{2^{4+frac{4}{3}}}{2^{5}}=frac{2^{5frac{1}{3}}}{2^{5}}=2^{5frac{1}{3}-5}=2^{frac{1}{3}}\\2^{k}=2^{frac{1}{3}}\k=frac{1}{3} =0,(3)[/latex] Liczba k jest liczbą wymierną, ponieważ ma ona dziesiętne rozwinięcie okresowe

[latex]log_2frac12(log_381) =log_2frac12(log_33^4) = log_2frac12*4 = log_22 = 1[/latex] [latex]frac{4^2*sqrt[3]{16}}{32} = frac{2^4*sqrt[3]{2^4}}{2^5} = frac{2^4*2^{frac43}}{2^5} = 2^{4+frac43-5} = 2^{frac13}[/latex]