1. [latex]n^2+n+1=31 \ n^2+n-30=0 \ Delta=1^2-4 cdot 1 cdot (-30)=1+120=121 \ sqrt{Delta}=11 \ n_1=frac{-1+11}{2}=5 \ n_2=frac{-1-11}{2}=-6 , sprzeczne ,,bo , n in mathbb{N} \ odp. , Piaty , wyraz , jest , rowny , 31.[/latex] 2. obliczyłam powyżej że piąty wyraz ciągu wynosi 31, obliczmy szósty wyraz b₆ = 6² + 6 + 1 = 36 + 6 + 1 = 43 > 41 więc nie spełnia warunków zadania odp. Pięć wyrazów ciągu bn jest mniejszych od 41.
1 [latex]n^2+n+1=31\n^2+n-30 = \Delta = 1^2-4*1*(-30) = 1+120 = 121\sqrt{121} = 11\\n_1 = frac{-1-11}{2} = frac{-12}2 = -6 <0\\n_2 = frac{-1+11}2 = 5[/latex] Pierwsze rozwiązanie odpada ponieważ n € N więc 5 wyraz ciągu bn wynosi 31 2) [latex] n^2+n+1 <41\n^2+n-40<0\Delta = 1^2-4*1*(-40) = 1 +160 = 161\sqrtDelta = sqrt{161}\\n_1 = frac{-1-sqrt{161}}{2}approx-6,8\\n_2 = frac{-1+sqrt{161}}{2} approx 5,8\\nin(n_1;n_2)\Poniewaz nin N wiec zawezam przedzial do:\n in(0;n_2)\\Najwekasza liczba naturalna w tym przedziale to n = 5[/latex] Jest 5 wyrazów ciągu mniejszych od 41
