an=4n-n²-12 a) Mod(an/4)=0 [latex]a_n=4( frac{n^2}{4} +n-3)[/latex] an jest podzielny przez 4 (bez reszty) gdy n²/4 jest liczbą całkowitą. n²/4 jest liczbą całkowitą dla każdego parzystego n Odp. Wszystkie parzyste wyrazy ciągu an podzielone przez 4, są liczbami całkowitymi b) an<-77 4n-n²-12<-77 -n²+4n+65<0 Δ=16+260=276=>√Δ=2√69 [latex]n_1= frac{-4-2 sqrt{69} }{-2} =2+ sqrt{69} \n_2= frac{-4+2 sqrt{69} }{-2} =2- sqrt{69}[/latex] ----------------------+++++++++++++++++-------------------- 2-√69 2+√69 2+√69≈10,31 Wyrazy ciągu an należą do liczb naturalnych (n∈N) , wiec wszystkie wyrazy ciągu, począwszy od wyrazu 11, są mniejsze od -77 an<-77⇔n∈{11,12,13,14...}
[latex]a_n = -n^2 + 4n - 12 \ n in N^+[/latex] a) [latex]a_n = 4x \ x = frac{a_n}{4}[/latex] [latex]x = frac{-n^2 + 4n - 12}{4} = -frac{n^2}{4} + n - 3[/latex] Dla [latex]n in N^+[/latex] musi zaistnieć takie [latex]frac{n^2}{4}[/latex], które będzie liczbą całkowitą, a taki warunek zajdzie dla liczb n = 2k, [latex]k in N^+[/latex], wtedy [latex]-frac{(2k)^2}{4} = -frac{4k^2}{4} = -k^2[/latex]. Z tego wynika, że n musi być liczbą parzystą. b) [latex]a_n < -77[/latex] [latex]-n^2 + 4n - 12 < 77[/latex] [latex]-n^2 + 4n + 65 < 0[/latex] [latex]Delta_n = b^2 - 4ac = 16 + 260 = 276[/latex] [latex]n_{1/2} = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a} = frac{-4 pm 2sqrt{69}}{-2} = frac{-2(2 pm sqrt{69}}{-2} = 2 pm sqrt{69}[/latex] [latex]n_1 = 2 + sqrt{69}[/latex] [latex]n_2 = 2 - sqrt{69}[/latex] [latex]-(n - (2 + sqrt{69}))(n - (2 - sqrt{69})) < 0[/latex] [latex]n in (-infty, 2 - sqrt{69}) cup (2 + sqrt{69}, +infty)[/latex] [latex]n in (2 + sqrt{69}, +infty)[/latex] z uwzględnieniem [latex]n in N^+[/latex]
