a) [latex]a_{n+1}:a_n=frac{(-3^{n}*3)}{3^n}=-3<0[/latex] ciąg (geometryczny) niemonotoniczny b) [latex]q=frac{a_{n+1}}{a_n}=frac{(n+1)2^{n+1}}{2^n*n}=frac{(n+1)2^{n}*2}{2^n*n}=2frac{n+1}{n}\\q>1[/latex] ciąg (geometryczny) rosnący c) [latex]q=frac{4^{-n}}{4^{-n}cdot4}=frac{1}{4}\\qin(0;1)[/latex] ciąg malejący d) wartości ciągu rosną wraz z n, ale znaki zmieniają się co drugi wyraz (a1<0, a2>0, a3<0 i t.d.) [latex]q=frac{a_{n+1}}{a_n}=(-5)^{n+1-1}=-5<0[/latex] ciąg niemonotoniczny e) [latex]frac{a_{n+1}}{a_n}=frac{3^n}{n+1}*(frac{3^{n-1}}{n})^{-1}=frac{3^n}{n+1}*frac{n}{3^{n-1}}=frac{3n}{n+1}>1[/latex] q>0 więc ciąg geometryczny rosnący f) [latex]a_{n+1}-a_n=frac{1}{2}-frac{1}{2}=0\ hbox{ciag staly}[/latex]
[latex]a)\a_{n} = -3^{n}\\a_{n+1} = -3^{n+1}\\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = frac{-3^{n+1}}{-3^{n}} = -3^{n+1-n}=-3 q< 0, ciag niemotoniczny[/latex] [latex]b)\a_{n} = n*2^{n}\\a_{n+1} = (n+1)*2^{n+1}\\frac{a_{n+1}}{a_n}} = frac{(n+1)*2^{n+1}}{n*2^{n}} = frac{n+1}{n}*2^{n+1-n} = 2*frac{n+1}{n} >1, ciag rosnacy[/latex] [latex]c)\a_{n} = 4^{-n+1}= 4^{-n}*4}\\a_{n+1} = 4^{-(n+1)+1} = 4^{-n-1+1} = 4^{-n}\\q = frac{a_{n+1}}{a^{n}} = frac{4^{-n}}{4^{-n}*4} = frac{1}{4}, q in(0;1) ciag malejacy[/latex] [latex]d)\a_{n} = (-5)^{n}\\a_{n+1} = (-5)^{n+1}\\q =frac{a_{n+1}}{a^{n}} = frac{(-5)^{n+1}}{(-5)^{n}} = (-5)^{n+1-n} = -5, q < 0, ciag niemonotoniczny[/latex] [latex]e)\a_{n} = frac{1}{n}*3^{n-1} = frac{3^{n-1}}{n}\\a_{n+1} = frac{3^{n+1-1}}{n+1} = frac{3^{n}}{n+1}\\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = frac{3^{n}}{n+1}:frac{3^{n-1}}{n}= frac{3^{n}}{n+1}:frac{3^{n-1}}{n} = frac{3^{n}}{n+1}*frac{n}{3^{n-1}} = frac{n}{n+1}*3^{n-(n-1)} = \\=frac{n}{n+1}*3 > 1, ciag rosnacy[/latex] [latex]f)\a_{n} = frac{1}{2} - ciag staly[/latex]
