Zadanie 1.
Szukamy punktow odleglych od A o 2.
[latex] sqrt{(x-(-1)) ^{2}+(y-(-3)) ^{2}} = 2[/latex]
[latex] (x-(-1))^{2}+ (y-(-3))^{2}=2^2 [/latex] - otrzymujemy rownanie okregu o srodku A(-1,2) i promieniu 2. Szukane punkty leza gdzies na tym okregu.
Rozwiniecie funkcji:
[latex] (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4 [/latex]
[latex] x^{2} +2*x+1+ y^{2}+6*y+9=4 [/latex]
[latex] x^{2} +2*x+ y^{2}+6*y+6=0 [/latex]
Nasza prosta musi sie stykac z tym okregiem, czyli miec tylko jeden punkt wspolny. Sprawdzamy punkty wspolne naszych funkcji:
[latex] left { {{x^{2} +2*x+ y^{2}+6*y+6=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
[latex] left { {{x^{2} +2*x+(x+k+3)^{2}+6*(x+k+3)+6=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
[latex] left { {{x^{2} +2*x+(x^{2}+k^2+9+2*x*k+6*x+6*k)+6(x+k+3)+6=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
[latex] left { {{x^{2} +2*x+x^{2}+k^2+9+2*x*k+6*x+6*k+6*x+6*k+18+6=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
[latex] left { {{2*x^{2} +(2*x+2*x*k+6*x+6*x)+(k^2+9+6*k+6*k+18+6)=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
[latex] left { {{2*x^{2} +(14*x+2*x*k)+(k^2+12*k+33)=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
[latex] left { {{2*x^{2} +x*(14+2*k)+(k^2+12*k+33)=0} atop {y=x+k+3}}
ight. [/latex]
Szukamy rozwiazan paraboli, wiedzac ze moze byc tylko jeden punk wspolny czyli Δ musi byc rowna zero.
Δ[latex]=b^{2}-4*a*c [/latex]
[latex]a=2[/latex], [latex]b=14+2k[/latex] i [latex]c=k^{2}+12*k+33[/latex]
Δ[latex] = (14+2*k)^{2}-4*2*(k^{2}+12*k+33)[/latex]
Δ[latex] = 4*k^{2}+56*k+196-8*k^{2}-96*k-264[/latex]
Δ[latex] = -4*k^{2}-40*k-68[/latex]
Wiemy, ze Δ musi byc rowna 0:
[latex]-4*k^{2}-40*k-68=0[/latex]/:-4
[latex]k^{2}+10*k+17=0[/latex]
No i liczymy mozliwe rozwiazania:
Δk = [latex] 10^{2}-4*1*17 [/latex]
Δk = 32 - Delta wieksza od zera wiec mamy 2 rozwiazania
[latex] k_{1}= frac{-10+ sqrt{32} }{2} [/latex]
[latex] k_{2}= frac{-10- sqrt{32} }{2} [/latex]
[latex] k_{1}= frac{-10+ 4*sqrt{2} }{2} [/latex]
[latex] k_{2}= frac{-10- 4*sqrt{2} }{2} [/latex]
Dla:
[latex]k= -5+2*sqrt{2}[/latex]
lub
[latex]k= -5-2*sqrt{2}[/latex]
Nasza prosta bedzie lezec w odleglosci 2 od punktu A(-1, -3)
