Zad 1. x^4 -10x² + 9 =0 podstawiamy x² = t t² - 10t + 9 = 0 Δ = 100 - 36 = 64, √Δ = 8, t1 = 10 - 8 / 2 = 1, t2 = 10 + 8 / 2 = 9 zatem (t - 1)(t - 9) = 0 i wracamy do podstawienia: (x² - 1)(x² - 9) = 0 i korzystając z wzoru: a² - b² = (a + b)(a - b): (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 3) = 0 ---> x = -3 ∨ x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 3 Zad. 2 x^4 -9x² = 0 wyłączamy x² przed nawias i mamy x²(x² - 9) = 0 i również z wzoru na różnicę kwadratów: x²(x + 3)(x - 3) = 0 x = -3 ∨ x = 0 (pierwiastek podwójny) ∨ x = 3 Zad. 3 x^4 -4x² + 4 = 0 podstawiamy x² = t t² - 4t + 4 = 0 ----> Widać, że prawa strona to kwadrat różnicy (wzory skróc. mnożenia): (t - 2)² = 0 ---> (x² - 2)² = 0 i z wzoru na różnicę kwadratów: (x + √2)²(x - √2)² = 0 ---> x = -√2 ∨ x = √2 (oba pierwiastki podwójne)
x^4 - 10x² + 9 = 0 Dziedzina r-nia: x∈R wprowadzam zmienną t=x² t² - 10t + 9 = 0 a=1, b= -10, c=9 Δ=b²-4ac= (-10)² - 4*1*9 = 100 - 36 = 64 √Δ=√64=8 Δ>0 , jeżeli delta wyjdzie większa od zera (Δ > 0), to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: t1 = [ -(-10) - 8] / 2*1 = 2/2 = 1 lub t2 = [ -(-10) + 8] / 2*1 = 18/2 = 9 wracam do podstawienia t=x² t1=1 lub t2=9 x²=1 lub x²=9 => x²-9=0 => (x-3)(x+3)=0 x=1 lub x=-3 lub x=3 Odp. R-nie posiada trzy rozw.: x=-3 , x=1 , x=3 ------------------------------------------------------------------ x^4 - 9x² = 0 Dziedzina r-nia: x∈R x² (x² - 9) = 0 x² (x-3) (x+3) = 0 x²=0 lub x-3=0 lub x+3=0 x=0 lub x=3 lub x=-3 Odp. R-nie posiada trzy rozw.: x=-3 , x=0 , x=3 ------------------------------------------------------------------ x^4 - 4x² +4 = 0 Dziedzina r-nia: x∈R wprowadzam zmienną t=x² t² - 4t + 4 = 0 a=1, b= -4 c=4 Δ=b²-4ac= (-4)² - 4*1*4 = 16 - 16 = 0 Δ=0 , jeżeli delta wynosi zero (Δ = 0), to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie. (pierwiastek podwójny) t= -b/2a t = - ( -4) / 2*1 = 4/2 = 2 wracam do podstawienia t=x² x²=2 x²-2=0 (x-√2)(x+√2)=0 x=√2 lub x=-√2 Odp. R-nie posiada dwa rozw.: x1=-√2 lub x2=√2
