Niech [latex]m[/latex] oznacza dowolną liczbę całkowitą. 1) Liczba parzysta to [latex]2m[/latex], kwadrat liczby parzystej to [latex](2m)^2[/latex] obliczenia: [latex](2m)^2=4m^2=2cdot2m^2[/latex] Ponieważ liczba [latex](2m)^2[/latex] została przedstawiona w postaci iloczynu liczby 2 oraz liczby całkowitej [latex]2m^2[/latex], to z tego wynika, że kwadrat liczby parzystej jest liczbą parzystą. 2) Niech [latex]nin N[/latex] (dowolna liczba naturalna) [latex]n + n+1[/latex] - suma dwóch kolejnych liczb naturalnych. [latex]n+n+1=2n+1[/latex] Jeśli do liczby parzystej [latex]2n[/latex] dodamy 1, to otrzymamy liczbę nieparzystą. Zatem suma dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą nieparzystą. 3) Niech [latex]nin N[/latex] (dowolna liczba naturalna) [latex]n^2, (n+1)^2[/latex] - kwadraty dwóch kolejnych liczb naturalnych [latex]n^2-(n+1)^2[/latex] - różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych [latex]n^2-(n+1)^2=n^2-(n^2+2n+1)=n^2-n^2-2n-1=-2n-1=\=-(2n+1)[/latex] analogiczne rozumowanie jak w 2), czyli wiemy że [latex]2n+1[/latex] jest liczbą nieparzystą. Liczba [latex]-(2n+1)[/latex] jest liczbą przeciwną, a jeśli liczba jest nieparzysta, to liczba do niej przeciwna też jest nieparzysta.
