Wystarczy policzyć pochodne po "x". Oznacza to, że "y" należy traktować jako stałą. c): [latex]frac{partial}{partial x} x^{2}(x+2y)^{20} =2x(x+2y)^{20}+x^{2} cdot frac{partial}{partial x}(x+2y)^{20}[/latex] Ponieważ pochodna x+2y wynosi 1 Można od razu zapisać że wynik to; [latex]2x(x+2y)^{20}+20x^{2}(x+2y)^{19}=(20x^{2}+2x^{2}+4xy)(x+2y)^{19}= \ =(22x^{2}+4xy)(x+2y)^{19} \ \ hbox{Druga pochodna:} \ frac{partial}{partial^{2}x}=(44x+4y)(x+2y)^{19}+19(22x^{2}+4xy)(x+2y)^{18}= \ = (x+2y)^{18}((44x+4y)(x+2y)+19(22x^{2}+4xy))[/latex] Po wyliczeniu tego co masz w nawiasie otrzymasz ostatecznie: [latex]frac{partial}{partial^{2}x}=2(231x^{2}+84xy+4y^{2})(x+2y)^{18}[/latex] d) [latex]frac{partial}{partial x}e^{3xy}+ln (xy)=frac{partial}{partial x} (e^{3xy}+ln x+ln y)=frac{partial}{partial x} (3xy) cdot e^{3xy}+frac{1}{x}= \= oxed{3ye^{3xy}+frac{1}{x}}[/latex] Opuściłem ln y ponieważ jest to stała. Druga pochodna: [latex]frac{partial}{partial x}3ye^{3xy}+frac{1}{x}=frac{partial}{partial x} (3xy) cdot 3ye^{3xy}-frac{1}{x^{2}}=oxed{9y^{2}e^{3xy}-frac{1}{x^{2}}}[/latex] e) [latex] frac{partial}{partial x}(e^{x^{2}y}+ln(x-y^{3}))=frac{partial}{partial x}(x^{2}y) cdot e^{x^{2}y}+frac{1}{x-y^{3}}= oxed{2yxe^{x^{2}y}+frac{1}{x-y^{3}}}[/latex] pochodna ln(x-y^3) wynosi tyle, ponieważ pochodna samej podstawy logarytmu naturalnego wynosi 1. Pochodna rzędu drugiego: [latex]frac{partial}{partial x} (2yxe^{x^{2}y}+frac{1}{x-y^{3}})= \ = frac{partial}{partial x}(x^{2}y) cdot 2xy cdot e^{x^{2}y}+2ye^{x^{2}y}+frac{partial}{partial x}(x-y^{3})^{-1}= \ = (4x^{2}y^{2}+2y)e^{x^{2}y}-(x-y^{3})^{-2}=oxed{2y(2x^{2}y+1)e^{x^{2}y}-frac{1}{(x-y^{3})^{2}}}[/latex] W razie pytań - pytaj :) Gdybyś jednak liczyła pochodne po "y". To traktujesz "x" jako stałą: c) [latex]frac{partial}{partial y}x^{2}(x+2y)^{20}=20x^{2}(x+2y)^{19} cdot frac{partial}{partial y} (x+2y)=oxed{40x^{2}(x+2y)^{19}} [/latex] Pochodna drugiego rzędu: [latex] frac{partial}{partial y}40x^{2}(x+2y)^{19}=40 cdot 19 cdot 2x^{2}(x+2y)^{18}=oxed{1520x^{2}(x+2y)^{18}}[/latex] d) [latex]frac{partial}{partial y} e^{3xy}+ln(xy)=frac{partial}{partial y}(3xy) cdot e^{3xy}+frac{partial}{partial y} ln y + frac{partial}{partial y} ln x= \ = oxed{3xe^{3xy}+frac{1}{y}}[/latex] Druga pochodna: [latex]frac{partial}{partial y} (3xe^{3xy}+frac{1}{y})=frac{partial}{partial y}(3xy) cdot 3xe^{3xy}-frac{1}{y^{2}}=oxed{9x^{2}e^{3xy}-frac{1}{y^{2}}}[/latex] e) [latex]frac{partial}{partial y} e^{x^{2}y}+ln(x-y^{3})=frac{partial}{partial y}(x^{2}y)e^{x^{2}y}+frac{frac{partial}{partial y}(x-y^{3})}{x-y^{3}}= \ = oxed{x^{2}e^{x^{2}y}-frac{3y^{2}}{x-y^{3}}}[/latex] Druga pochodna: [latex]frac{partial}{partial y}(x^{2}e^{x^{2}y}-frac{3y^{2}}{x-y^{3}})=frac{partial}{partial y}(x^{2}y) cdot x^{2}e^{x^{2}y}-frac{frac{partial}{partial y}(3y^{2})(x-y^{3})-frac{partial}{partial y}(x-y^{3})3y^{2}}{(x-y^{3})^{2}}=\ = x^{4}e^{x^{2}y} - frac{6y(x-y^{3})+9y^{4}}{(x-y^{3})^{2}}=oxed{x^{4}e^{x^{2}y}-frac{3y^{4}+6xy}{(x-y^{3})^{2}}}[/latex]
