Wyznacz liczbę m dla której wektory u= [m^{2} -1, -m] oraz v=[-1,m] są: a) równe b) przeciwne c) równoległe

Jeżeli wektory mają być równe, to ich współrzędne też muszą być równe, zatem [latex]u=[ m^{2} -1,-m][/latex] [latex]v=[-1,m][/latex] [latex]m^2-1=-1 [/latex] ∧ [latex]-m=m[/latex] [latex]<=> m^2=0[/latex] ∧ [latex]-m=m[/latex] [latex]m=0[/latex] ∧ [latex]m=0 <=> m=0[/latex] Jeżeli mają być przeciwne, to ich współrzędne muszą być także przeciwne, np wektor [latex]p=[2,2][/latex] i wektor [latex]q=[-2,-2][/latex] [latex]m^2-1=-(-1) <=> m^2=2 <=> m= sqrt{2} [/latex] ∨ [latex]m=- sqrt{2} [/latex] [latex]-m=-m<=>m=m<=>m[/latex] ∈ [latex]R[/latex] Tworzymy koniunkcję warunków: ([latex]m[/latex] ∈ {[latex] sqrt{2} ,- sqrt{2} [/latex]} ∧ [latex]m[/latex] ∈ [latex]R[/latex] [latex])<=> m[/latex] ∈ [latex]{ sqrt{2}, - sqrt{2} [/latex] Jeżeli wektory mają być równoległe, to wyznacznik pary wektorów musi być równy zero. [latex]det(u,v)=u_1v_2-u_2v_1[/latex] [latex]det(u,v)=(m^2-1)m-(-m)(-1)=m^3-m-m=m^3-2m=[/latex] [latex]=m^3-m-m=m^3-2m=m(m^2-2)=m(m- sqrt{2} )(m+ sqrt{2)}[/latex] [latex]det(u,v)=0<=>m(- sqrt{2})(m+ sqrt{2)})=0 <=>[/latex] [latex]<=>[/latex][latex]m[/latex] ∈ {[latex]0, -sqrt{2}, sqrt{2}[/latex]} O ile pamiętam to wyznaczniki są robione przy okazji macierzy i równań liniowych z dwoma niewiadomymi w układzie współrzędnych kartezjańskich.