sin 2x + p(3) cos x = 0 2 sin x * cos x + p(3) cos x = 0 bo sin 2x = 2 * sin x * cos x cos x * (2sin x + p(3) ) = 0 cos x = 0 lub sin x = -p(3)/2 cos x = 0 gdy x = PI/2 + k PI, k nalezy do Z (Z - liczby całkowite) sin x = -p(3)/2 gdy x = 4/3 PI + 2k PI lub x = 5/3 PI + 2k PI wyjasnienie: to co powyzej odczytuje z wykresów sin x i cos x na przykład na wykresie sinusa mozna odczytać, ze sin (5/6 PI) = -p(3)/2, co znaczy, że jeżeli sin (x) = -p(3)/2, to x = 5/6 PI a także każda liczba, ktora jest wieksza/mniejsza od 5/6 PI o wielokrotność 2 PI, bo sin jest funkcją okresową o okresie 2PI, czyli sin (x) = sin (x + 2PI * k), gdzie k jest dowolna Z odp: x = PI/2 + k PI, k nalezy do Z lub x = 4/3 PI + 2k PI lub x = 5/3 PI + 2k PI b/ cos 2x = 1- 2 sin^2 x 1 - 2sin^2 x + 7 sin x + 3 = 2sin^2 x - 7 sin x - 4 = 0 (2 sin x + 1) (sin x - 4) = 0 /ten rozklad na czynniki się zgaduje (albo liczy z delty), można sprawdzić, że przemnożenie nawiasów daje to co wyżej sin x = -1/2 lub sin x = 4 sin x = -1/2, bo sin x <= 1, wiec nie moze być 4. sin x = -1/2 gdy x = 7/6 PI + 2kPI lub x = 11/6 PI + 2kPI odp: x = 7/6 PI + 2kPI lub x = 11/6 PI + 2kPI c/ 2 sin^3 x + 3 (1 - sin^2 x) - 2sin x -3 = 0 2 sin^3 x - 3 sin^2 x - 2sin x = 0 sin x ( 2 sin^2 x - 3 sin x - 2 ) = 0 sin x ( 2 sin x +1 ) ( sin x - 2 ) = 0 sin x = 0 lub sin x = -1/2 odp: x = k PI lub x = 7/6 PI + 2kPI lub x = 11/6 PI + 2kPI d/ sin 4x |tg x - 1| = 0 to akurat jest łatwe, bo nie nalezy stosować wzorów, wystarczy skorzystac z tego, ze iloczyn jest 0 jeżeli któryś jego czynnik jest 0 wiec sin 4x = 0 lub tg x = 1 sin 4x jest 0 gdy 4x = k PI czyli x = k/4 PI tg x = 1 gdy x = PI/4 + k PI warto zauwazyc, ze zbiór liczb k/4 PI zawiera wszystkie liczby ze zbioru PI/4 + k PI, wiec wystarczy zapisac k/4 PI na przykład PI/4 + PI = 5/4 PI, PI/4 + 2 PI = 9/4 PI, itd odp: x = k/4 PI nierówność 3 sin x + 2 (1 - 2sin^2 x) >=3 4 sin^2 x - 3 sin x +1 >= 0 (2 sin x - 1) ( sin x - 1) >= 0 dla kazdego x sin x <=1, wiec dla kazdego x sin x - 1 <= 0 zatem sin x - 1 <= 0 lub 2 sin x - 1 <= 0 sin x = 1 lub sin x <= 1/2 odczytuje z wykresu: sin x = 1 gdy x = PI/2 + 2k PI sin x <= 1/2 gdy x nalezy do sumy przedziałów (5/6 PI + 2kPI; 13/6 PI + 2kPI) dla k nalezacego do Z odp: x = PI/2 + 2k PI lub x nalezy do (5/6 PI + 2kPI; 13/6 PI + 2kPI)
