Zad 4 a) [latex]3^{frac{1}{2}} cdot 3^{frac{3}{4}} = 3^{frac{2}{4}+frac{3}{4}}=3^{frac{5}{4}}=sqrt[4]{3^5}=sqrt[4]{3^4 cdot 3}=3sqrt[4]{3}[/latex] b)_ [latex]left(2^{frac{1}{2}} ight)^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{2} cdot frac{4}{3}}=2^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{2^2}=sqrt[3]{4}[/latex] c) [latex]4^{frac{3}{4}} :4^{frac{1}{3}}=4^{frac{9}{12}-frac{4}{12}}=4^{frac{5}{12}}=2^{frac{10}{12}}=2^{frac{5}{6}}=sqrt[6]{2^5}=sqrt[6]{32}[/latex] d) [latex]64^{frac{1}{2}} : 64^{frac{1}{3}}=sqrt{64} : sqrt[3]{64}=8:4=2[/latex] e) [latex]5^{frac{1}{2}} cdot left(5^{frac{2}{3}}+5^{frac{1}{4}} ight)= 5^{frac{1}{2}} cdot 5^{frac{2}{3}} +5^{frac{1}{2}} cdot 5^{frac{1}{4}}=5^{frac{3}{6}+frac{4}{6}}+5^{frac{2}{4}+frac{1}{4}}=5^{frac{7}{6}}+5^{frac{3}{4}}=\ =sqrt[6]{5^7}+sqrt[4]{5^3}=5sqrt[6]{5}+sqrt[4]{125}[/latex] f) [latex]left(4^{frac{1}{2}}+3^{frac{1}{3}} ight)^2=left(2+sqrt[3]{3} ight)^2=4+4sqrt[3]{3}+sqrt[3]{9} \ hbox{Ze wzoru} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/latex] g) [latex]left(2^{frac{1}{2}}-2 cdot 2^{frac{1}{3}}+3 ight) cdot left(2^{frac{2}{3}}+3 cdot 2^{frac{1}{2}}-4 ight)= \= 2^{frac{1}{2}} cdot 2^{frac{2}{3}}+3 cdot 2^{frac{1}{2}} cdot 2^{frac{1}{2}}-4 cdot 2^{frac{1}{2}}-2 cdot 2^{frac{1}{3}} cdot 2^{frac{2}{3}}-2 cdot 2^{frac{1}{3}} cdot 3 cdot 2^{frac{1}{2}}-4cdot 2 cdot 2^{frac{1}{3}}+\ +3 cdot 2^{frac{2}{3}}+3 cdot 3 cdot 2^{frac{1}{2}}-12=[/latex] [latex]=2^{frac{7}{6}}+6-4sqrt{2}-4-6 cdot 2^{frac{5}{6}}-8sqrt[3]{2} +3sqrt[3]{4}+9sqrt{2}-12= \ =2sqrt[6]{2}-6sqrt[6]{32}-8sqrt[3]{2}+3sqrt[3]{4}+5sqrt{2}-10[/latex] Może coś źle przepisałem, że tak wyszło... h) [latex]left(a^{-frac{1}{2}}+4 ight)left(a^{-frac{2}{3}}+a^{-2}+1 ight)= a^{-frac{1}{2}} cdot a^{-frac{2}{3}}+a^{-frac{1}{2}} cdot a^{-2}+a^{-frac{1}{2}}+ \ +4a^{-frac{2}{3}}+4a^{-2}+4=a^{-frac{7}{6}}+a^{-frac{5}{2}}+a^{-frac{1}{2}}+4a^{-frac{2}{3}}+4a^{-2}+4[/latex] Zad. 5 [latex]frac{16sqrt[3]{2} cdot sqrt{8}}{8^{frac{2}{3}} cdot sqrt[4]{2}}=frac{2^{4} cdot 2^{frac{1}{3}} cdot 2^{frac{3}{2}}}{2^{2} cdot 2^{frac{1}{4}}}=frac{2^{4+frac{1}{3}+frac{3}{2}}}{2^{2frac{1}{4}}}=frac{2^{4frac{11}{6}}}{2^{2frac{1}{4}}}=2^{5frac{5}{6}-2frac{1}{4}}=2^{5frac{10}{12}-2frac{3}{12}}=2^{3frac{7}{12}} \ \ hbox{Tlumacze:} \ sqrt{8}=(2^{3})^{frac{1}{2}}=2^{frac{3}{2}} \ 8^{frac{2}{3}}=(2^{3})^{frac{2}{3}}= 2^{3 cdot frac{2}{3}}=2^2[/latex] b) [latex]3sqrt[4]{81} cdot left(frac{1}{3} ight)^{frac{2}{3}} cdot 9^{-frac{3}{2}} cdot left(frac{1}{27} ight)^{-frac{2}{3}}=3 cdot 3 cdot (3^{-1})^{frac{2}{3}} cdot (3^2)^{-frac{3}{2}} cdot (3^{-3})^{-frac{2}{3}}= \ =3^2 cdot 3^{-frac{2}{3}} cdot 3^{-3} cdot 3^{2}=3^{2+2-3-frac{2}{3}}=3^{1-frac{2}{3}}=3^{frac{1}{3}}[/latex] Zadanie 6 a) [latex]1frac{1}{2} cdot left(1frac{1}{2} ight)^{3}=left(1frac{1}{2} ight)^{4}= left(frac{3}{2} ight)^{4}=frac{81}{16}[/latex] b) [latex]left(1frac{3}{4} ight)^{-4} : left(1frac{3}{4} ight)^{-6}=left(frac{7}{4} ight)^{-4+6}=left(frac{7}{4} ight)^{2}=frac{49}{16}[/latex] c) [latex]4^{9} : (4^{5} :4^{-4})= 4^{9} : 4^{5+4}=4^{9} : 4^{9}=1[/latex] d) [latex](0,8)^{8} cdot left(3frac{1}{3} ight)^{8}=left( frac{4}{5} cdot frac{10}{3} ight)^{8}=left(frac{8}{3} ight)^{8}[/latex] e) [latex]5^{13} : left( 5^{18} cdot left(frac{1}{5} ight)^{8} ight)=5^{13} : (5^{18} cdot 5^{-8})=5^{13} : 5^{10}=5^{13-10}=5^{3}=\=125[/latex] f) [latex]((2^{-3})^{-2})^{-1}= 2^{(-3) cdot (-2) cdot (-1)}=2^{-6}=frac{1}{64}[/latex] g) [latex]frac{7^{32} cdot 7^{63} cdot (7^{6})^4}{(7^8)^9 cdot (7^6)^8}=frac{7^{32} cdot 7^{63} cdot cdot 7^{24}}{7^{72} cdot 7^{48}}=frac{7^{32+63+24}}{7^{48+72}}=frac{7^{119}}{7^{120} }=frac{1}{7}[/latex] h) [latex]frac{5 cdot 4^{7}-6 cdot 16^3}{2^{13}}=frac{5 cdot (2^2)^7-6 cdot (2^4)^3}{2^{13}}=frac{5 cdot 2^{14}-6 cdot 2^{12}}{2^{13}}=frac{2^{12}(5 cdot 2^2-6)}{2^{13}}=frac{5 cdot 2^2-6}{2}=\=5 cdot 2-3=10-3=7[/latex] Zadanie 7: a) [latex]left(frac{1}{2} ight)^6-left(frac{1}{2} ight)^7= left(frac{1}{2} ight)^6left(1-frac{1}{2} ight)=left(frac{1}{2} ight)^{6} cdot frac{1}{2}=left(frac{1}{2} ight)^7[/latex] b) [latex]3 cdot 2^4+2^5+2^6+7 cdot 2^4=2^4(3+2+2^2+7)=2^4(3+2+4+7)=\ = 2^4 cdot 16=2^4 cdot 2^4=2^8[/latex] c) [latex]5^8+3 cdot 25^3-5^7+2 cdot 5^6=5^8+3 cdot 5^6-5^7+2 cdot 5^6= \ = 5^6 cdot (5^2+3-5+2)=5^6(25+5-5)=5^6 cdot 25=5^6 cdot 5^2=5^8[/latex] d) [latex]2 cdot 3^{13} + 5 cdot 3^{11}+12 cdot 3^{10}=3^{10} cdot (2 cdot 3^3+5 cdot 3+12)= \ = 3^{10} cdot (2 cdot 27+15+12)=3^{10} cdot (54+27) = 3^{10} cdot 81 = 3^{10} cdot 3^4=3^{14}[/latex] e) [latex]5 cdot 2^{15}+9 cdot 2^{13} +6 cdot 2^{12}=2^{12} cdot (5 cdot 2^3+9 cdot 2 +6)= \ = 2^{12} cdot (40+18+6)= 2^{12} cdot 64=2^{12} cdot 2^{6}=2^{18}[/latex]
