oblicz całkę metodą podstawiania: [latex] {frac{lnx}{x sqrt{1+lnx} } }dx[/latex]

[latex]int frac{ln x}{xsqrt{1+ln x}}dx= int left(frac{ln x}{sqrt{1+ln x}} cdot frac{dx}{x} ight) \ hbox{Dokonujesz podstawienia:} \ u=1+ln x \ hbox{Skad:} \ ln x=u-1 \ hbox{A takze liczac pochodna po obu stronach:} \ du=frac{dx}{x} \ hbox{Otrzymujesz nowa calke:} \ int frac{u-1}{sqrt{u}}du=int frac{u}{sqrt{u}}du-int frac{1}{sqrt{u}}du=int u^{frac{1}{2}}du-int u^{-frac{1}{2}}= frac{u^{frac{1}{2}+1}}{frac{1}{2}+1}-frac{u^{-frac{1}{2}+1}}{-frac{1}{2}+1}}+\ +C=[/latex] [latex]=frac{2}{3}u^{frac{3}{2}} - 2u^{frac{1}{2}}+C=u^{frac{1}{2}}(frac{2}{3}u-2)+C=frac{2}{3}sqrt{u}(u-3)+C[/latex] I wracając do podstawiania: [latex]int frac{ln x}{xsqrt{1+ln x}}dx=oxed{frac{2}{3}sqrt{1+ln x} cdot (ln x-2)+C}[/latex]