Wykaż, że jeżeli a∊R i b∊R to [latex] frac{ sqrt[]{ a^{2}+ b^{2} } }{2} geq frac{a+b}{2} [/latex]

[latex]sqrt{frac{a^{2}+b^{2}}{4}} geq frac{a+b}{2} |^{2}\ \ frac{a^{2}+b^{2}}{2} geq (frac{a+b}{2})^{2}\ \ frac{a^{2}+b^{2}}{2}-frac{(a+b)^{2}}{2^{2}} geq 0\ \ frac{2a^{2}+2b^{2}}{4}-frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} geq 0\ \ frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4} geq 0\ \ frac{(a-b)^{2}}{4} geq 0\[/latex] Różnica dwóch dowolnych liczb rzeczywistych podniesiona do potęgi parzystej da w wyniku liczbę dodatnią (w przypadku gdy różnica ta wyniesie 0, to wynikiem będzie 0). Zatem nierówność jest prawdziwa dla dowolnych a, b∈R. Q.E.D.