Dlaczego drgania opisuje się przez funkcję harmoniczną?

Skorzystamy z II zasady dynamiki Newtona:  [latex]F=ma\ a=frac{dv}{dt}\ v=frac{dx}{dt}\ a=frac{d^2x}{dt^2}\ Zas sila dzialajaca na nasze cialo to:\ F=-kx\ -kx=mfrac{d^2x}{dt^2}\ frac{k}{m}x+frac{d^2x}{dt^2}=0\ omega =sqrt{frac{k}{m}}\Jest to jednorodne , liniowe rownanie rozniczkowe II rzedu\ [/latex] [latex]Rozwiazaniem tego rownania jest funkcja x(t) znajdzmy ja:\ omega^2x(t)+x"(t)=0\ x"(t)+omega^2x(t)=0\ r^2+omega^2=0\ Delta =(0)^2-4*1*omega^2=-4omega^2\ sqrt{Delta} =sqrt{4*i^2omega^2}=2iomega \ r_1=frac{0-2omegai}{2*1}=-iomega \ r_2=iomega \ Postac jednorodna wyglada tak:\ x_j=e^{alpha x}(C_1sin(eta x)+C_2cos(eta x))\ r=alpha^+_-eta i\ Czyli nasze rozwiazania to:\ x(t)=e^{0*t}[C_1sin(omega t)+C_2cos(omega t)]\x(t)=C_1sin(omega t)+C_2cos(omega t)\[/latex] [latex]Stale C_1 i C_2 wyznacza sie z warunkow poczatkowych\ Np. gdy w chwili t=0 wychylenie x=0\ 0=C_1sin(0)+C_2cos(0)\ 0=0+C_2\ C_2=0 czyli dla tego przypadku:\ oxed{x(t)=Asinomega t}[/latex]