Okres drgań wahadła matematycznego o długości [latex]frac{l}{2}[/latex]: [latex]T_m=2pisqrt{frac{frac{l}{2}}{g}}=2pisqrt{frac{l}{2g}}[/latex] Okres drgań wahadła fizycznego o długości l: [latex]T_f=2pisqrt{frac{I}{mgl}}[/latex] gdzie: I - moment bezwładności m - masa Oba okresy mają być równe: [latex]2pisqrt{frac{l}{2g}}=2pisqrt{frac{I}{mgl}}[/latex] *) [latex]sqrt{frac{l}{2g}}=sqrt{frac{I}{mgl}}[/latex] Korzystamy z twierdzenia Steinera, które określa że moment bezwładności bryły względem osi obrotu równoległej do osi przechodzącej przez środek masy ciała dany jest wzorem: [latex]I=I_0+md^2[/latex] gdzie: [latex]I_0[/latex] - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, dla pręta [latex]I_0=frac{ml^2}{12}[/latex] d - przesunięcie osi obrotu [latex]I=I_0+md^2=frac{ml^2}{12}+md^2[/latex] Podstawiamy do wzoru *) [latex]sqrt{frac{l}{2g}}=sqrt{frac{frac{ml^2}{12}+md^2}{mgl}} |^2[/latex] [latex]frac{l}{2g}=frac{frac{ml^2}{12}+md^2}{mgl} |cdot mgl[/latex] [latex]frac{mgl^2}{2g}=frac{ml^2}{12}+md^2[/latex] [latex]frac{ml^2}{2}-frac{ml^2}{12}=md^2 |:m[/latex] [latex]6frac{l^2}{12}-frac{l^2}{12}=d^2[/latex] [latex]frac{5l^2}{12}=d^2[/latex] [latex]d=sqrt{frac{5l^2}{12}}=oxed{sqrt{frac{5}{12}}l}[/latex] Odpowiedź: Oś należy umieścić w [latex]sqrt{frac{5}{12}}l[/latex]
